88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון

הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:

4

שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2

5

נתון כי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה רציפה [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] יש לה פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]

לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים: [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) }[/math]

ידוע כי [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}f(x)dx=\infty }[/math], ולכן: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}F(x)=\infty }[/math]

לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{f(x)}{F(x)-F(0)}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{F'(x)}{F(x)-F(0)}dx }[/math]

אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה וחיובית [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a,b\in[0,\infty) }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx\gt 0 }[/math],

ובפרט לכל [math]\displaystyle{ x\geq 1 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ F(x)-F(0)\gt 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] גזירה ולכן רציפה [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ F(x)-F(0) }[/math] רציפה וחיובית.

מכיוון ששתי הפונקציות רציפות ו[math]\displaystyle{ F(x)-F(0) }[/math] חיובית [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{F(x)-F(0)} }[/math] רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.

וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.

כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:

לטעמי נוחות בלבד נסמן: [math]\displaystyle{ a:=F(1)-F(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{F'(x)}{F(x)-F(0)}dx=\begin{Bmatrix} t=F(x)-F(0)\\ dt=F'(x)dx \end{Bmatrix}=\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t}=\lim_{b \to \infty}ln(F(b)-F(0))-ln(F(a)-F(0))=\infty }[/math]

וסיימנו (: