אלגברה מופשטת 1- מועד א' קיץ תשע"ג
תוכן עניינים
שאלה 2
סעיף א'
הוכח את משפט אוילר על החזקות ופתור את המשוואה
פתרון
משפט אוילר על החזקות אומר שאם אז . אבל אם אז לפי משפט, . אחת התוצאות של משפט לגרנז' אומרת שאם מעלים איבר בחזקת סדר של החבורה, נקבל את הנטרלי של החבורה. במקרה הזה, הנטרלי הוא 1 והסדר של החבורה הוא . נזכור שההגדרה של היא בעצם ולכן קיבלנו .
כעת נפתור את המשוואה. כיוון ש- 31 ראשוני, אז לפי משפט וילסון, וכיוון ש-30 הפיך ב- אפשר להסיק ש- . קיבלנו: .
נזכור ש- (אם p ראשוני אז ) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, ומכאן . קל לחשב ש- ולכן קיבלנו את המשוואה: . עוד נראה ש- ולכן ומכאן ש-
סעיף ב'
האם קיים מונומורפיזם ?
אינטואיציה ראשונית לפתרון
נשים לב ש- . לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: או . כיוון ש- אבלית ו- לא, נקבל כי ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- ל- , אזי ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא תהיה איזומורפית ל- ). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- ולשלוח את אחד מהיוצרים של לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.
פתרון
נשלח את 2 (קל לראות שהוא אחד מהיוצרים של ) לתמורה . זוהי תמורה מסדר 6 ולכן סיימנו.
סעיך ג'
הוכיחו: בחבורת מנה הסדר של כל איבר הוא סופי, אבל החבורה אינה נוצרת סופית.
פתרון
כל איבר בחבורת המנה הוא מהצורה ולכן נראה כי ולכן הסדר של האיבר קטן מ-n, בפרט סופי.
קל לראות ש- איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש- לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית