אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר [math]\displaystyle{ -1 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \sqrt{-1}\notin \mathbb{R} }[/math].
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל [math]\displaystyle{ -1 }[/math]: שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב [math]\displaystyle{ i }[/math] איבר מסויים, ונגדיר [math]\displaystyle{ i\cdot i=-1 }[/math]. במילים אחרות [math]\displaystyle{ i=\sqrt{-1} }[/math]. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\} }[/math]. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים [math]\displaystyle{ b=0 }[/math].
חיבור: [math]\displaystyle{ (a+bi)+(x+yi):=(a+x)+(b+y)i }[/math].
כפל: [math]\displaystyle{ (a+bi)\cdot (x+yi):=(ax-by)+(ay+bx)i }[/math].
לדוגמא: נסמן [math]\displaystyle{ z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i }[/math]. נקבל: [math]\displaystyle{ z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i }[/math], וכן [math]\displaystyle{ z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i }[/math].
חלק ממשי וחלק מדומה
יהי [math]\displaystyle{ z=a+bi\in \mathbb{C} }[/math]. נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math], ואת החלק המדומה שלו להיות [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]. שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!
דוגמא: [math]\displaystyle{ Re(\sqrt{2}-\pi i)=\sqrt{2},Im(\sqrt{2}-\pi i)=-\pi }[/math].
שימו לב שמספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] הוא ממשי אם ורק אם [math]\displaystyle{ Im(z)=0 }[/math].
מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] נקרא מדומה טהור אם [math]\displaystyle{ Re(z)=0 }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ 2i }[/math].
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה [math]\displaystyle{ |\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י: [math]\displaystyle{ |z=a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: [math]\displaystyle{ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2| }[/math].
2. אי שליליות: [math]\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}:|z|\geq 0 }[/math], ומתקיים: [math]\displaystyle{ |z|=0\iff z=0 }[/math].
3. אי שיוויון המשולש: [math]\displaystyle{ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2| }[/math].
אש"מ ההפוך - בהרצאה
הוכיחו: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w|| }[/math].
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ a=z-w,b=w }[/math]. נשים לב ש [math]\displaystyle{ z=z-w+w=a+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |z|=|a+b| }[/math]. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: [math]\displaystyle{ |z|=|a+b|\leq |a|+|b|=|z-w|+|w| }[/math]. נעביר אגפים לקבל [math]\displaystyle{ |z|-|w|\leq |z-w| }[/math].
בדומה, נסמן [math]\displaystyle{ a=w-z,b=z }[/math]. נשים לב ש [math]\displaystyle{ w=w-z+z=a+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |w|=|a+b| }[/math]. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: [math]\displaystyle{ |w|=|a+b|\leq |a|+|b|=|w-z|+|z|=|z-w|+|z| }[/math]. נעביר אגפים לקבל [math]\displaystyle{ |w|-|z|\leq |z-w| }[/math].
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w|| }[/math].
צמוד
לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות [math]\displaystyle{ \overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi }[/math]. לדוג': [math]\displaystyle{ \overline{\pi-\sqrt{3}i}=\pi +\sqrt{3}i }[/math].
תכונות הצמוד
1. כפליות: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math].
2. חיבוריות: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math].
3. אותה נורמה: [math]\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}| }[/math].
ראיתם בהרצאה:
הוכיחו שלכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] מתקיים:
1. [math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=|z|^2 }[/math].
2. [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2Re(z) }[/math].
3. [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2Im(z)i }[/math]
פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] ונחשב:
[math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2 }[/math].
[math]\displaystyle{ z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2Re(z) }[/math].
[math]\displaystyle{ z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i }[/math]
תרגיל
מצאו מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] המקיים:
[math]\displaystyle{ |z|=5,Im(z)=2 }[/math]
פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math], לכן [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=5\Rightarrow a^2+b^2=25 }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ b=Im(z)=2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a^2=25-4\Rightarrow a=\pm \sqrt{21} }[/math].
מציאת הופכי וחילוק
עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.
ש: איך נמצא את ההופכי?
ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math].
תרגיל
מצא את ההופכי של [math]\displaystyle{ 7-4i }[/math].
פתרון: לפי המסקנה נקבל: [math]\displaystyle{ (7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i }[/math].
תרגיל
הצג את הביטוי הבא בצורה [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] וציין מהם [math]\displaystyle{ Re(z),Im(z),\overline{z},|z| }[/math]. הביטוי הינו: [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]
פתרון: נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה [math]\displaystyle{ \frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} }[/math].
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1} }[/math] וכעת רשמנו [math]\displaystyle{ (5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}] }[/math]
לפיכך נקבל:
[math]\displaystyle{ z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i }[/math].
[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}} }[/math].
[math]\displaystyle{ Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13} }[/math].
[math]\displaystyle{ \overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i }[/math].
תרגילים
תרגיל
פתור את המשוואה הבאה:
1. [math]\displaystyle{ z^2-(4+6i)z-5+10i=0 }[/math].
פתרון
נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:
[math]\displaystyle{ z_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i} }[/math]. אבל איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו [math]\displaystyle{ w=a+bi }[/math], כלומר, [math]\displaystyle{ (a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i }[/math]. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם [math]\displaystyle{ i }[/math] ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:
[math]\displaystyle{ a^2-b^2=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2ab=2 }[/math].
מהמשוואה השנייה נקבל [math]\displaystyle{ ab=1\Rightarrow a^2b^2=1 }[/math], ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל [math]\displaystyle{ a^2a^2=1\Rightarrow a^4=1\Rightarrow a=\pm 1 }[/math]. קיבלנו שני פתרונות:
[math]\displaystyle{ a=1\Rightarrow b=1\Rightarro w=1+i }[/math]
[math]\displaystyle{ a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i }[/math].
בסה"כ נקבל [math]\displaystyle{ z_{1,2}=2+3i\pm 1+i }[/math], ולכן בסה"כ: [math]\displaystyle{ z_1=3+4i,z_2=1+2i }[/math].
תרגיל
א. פתרו את הנשוואה [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=z+2i }[/math].
ב. הוכיחו שלמשוואה [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=Re(z)+2i }[/math] אין פתרון.
פתרון: נסמן[math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math], וניזכר שמתקיים [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2Re(z) }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ 2a=a+bi+2i }[/math]. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
[math]\displaystyle{ 2a=a }[/math]
[math]\displaystyle{ 0=b+2 }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ a=0,b=-2 }[/math], כלומר, [math]\displaystyle{ z=-2i }[/math].
ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי [math]\displaystyle{ Re(z) }[/math] תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה [math]\displaystyle{ Im(Re(z)+2i)=2 }[/math] לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math].