משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
גרסה מ־14:16, 22 במרץ 2011 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "===דוגמאות=== # <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>t=x^3\...")
דוגמאות
- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx
. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב . לכן
. דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך:
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r.
. לכן השטח הוא
. נציב
... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה
היינו צריכים לבחור
כך ש-
, אבל יכולנו לבחור
כי אז
, ועבור
יכולנו לבחור
. אם כן היינו מוצאים
. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-
, מה שנכון רק כאשר
. הטווח של האינטגרציה היה
, שכולל תחומים בהם
. בתחומים אלה צריך לבחור
ולחלק את הקטע
לתחומים שונים לפי הסימן של
.
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע
מתקיים
כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא
.
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף
בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור
קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו -
. כעת נניח ש-
רציפה ב-
ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של
,
. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל
מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום
ומינימום
בקטע זה. נסמן ב-
הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים
. יוצא שהנפח בסה"כ הוא
ומתקיים
. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק
ובצד שמאל
. ז"א לכל חלוקה P
. נשאיף
וכיוון ש-f רציפה גם
רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול
.
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
.
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4)
. לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3
, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: תהא f מוגדרת ורציפה