משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/13.3.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמאות נוספות
-
: נמצא A,B,C עבורם האינטגרנד שווה ל-
. נשווה מונים:
ולכן
. לבסוף נקבל
-
: נשים לב שמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, לכן לא ניתן להשתמש בשברים חלקיים בשלב זה. נחלק פולנומים:
ז"א -
: נפרק את המכנה ונקבל
. לכן האינטגרנד הוא
עבור A,B,...,T כלשהם. עתה נותר "רק" למצוא אותם ולחשב את האינטגרל.
אינטגרל של פונקציה רציונלית של sin ו-cos
נתונה פונקציה רציונלית R של שני משתנים, ואנו מעוניינים לחשב את . למשל, אם
אז אנו רוצים למצוא אינטגרל ל-
.
דוגמאות פרטית
- נציב
ואז
- נציב
. לכן:
כללים: באינטגרל :
- אם
אז תועיל ההצבה
.
- אם
נציב
.
- אם
נציב
.
- בכל מקרה תועיל ההצבה
, שתהפוך את האינטגרנד לפונקציה רציונלית של
, והאינטגרל שלה פתיר בעזרת שברים חלקיים. במקרה כזה:
-
ולכן
.
-
, לפיכך
ונקבל
.
-
.
-
דוגמה
חשב <math\int\frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)}</math>.
פתרון
נציב![t=\tan\left(\frac x2\right)](/images/math/c/6/e/c6e18ef677ff0effe0c429515a3a1b8f.png)
![\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}](/images/math/8/4/2/842f903bcdcc372e915bea66efe31012.png)