משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11
את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-22.2.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 3
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי
וכן
.
הוכחה
הטענה הראשונה אומרת שלכל קיים
כך שאם
אזי
. ברור מהגדרת האינטגרל העליון כי
. כעת יהי
נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של
כך ש-
ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של
כך ש-
, ונגדיר
. כיוון ש-R עידון של Q,
ונובע ש-
. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-
. לכן נוכל להסיק
.
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה.
משפט 4
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם
ואם כן
.
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א . לכן, ממשפט 3,
. ע"פ אריתמטיקה של גבולות
וכן
.
עכשיו נניח ש- ונוכיח את ההיפך. ממשפט 3
ולכן f אינטגרבילית.
משפט 5
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם לכל
קיימת חלוקה P של
כך ש-
.
הוכחה
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 . לכן עבור
קיים
כך שלכל P המקיימת
מתקיים
.
לצד השני, נניח שלכל קיימת חלוקה P כך שמתקיים
. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים
. לפי הנתון נקבל
. זה נכון לכל
ולכן
, כלומר f אינטגרבילית ב-
.
משפט 6
תהי f רציפה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
יהי . כיוון ש-f רציפה בקטע סגור
היא רציפה במ"ש, לכן קיים
כך שאם
ו-
אז
. כעת תהי P חלוקה כלשהי של
כך ש-
. לפיכך
כאשר
ו-
. כיוון ש-f רציפה ושעפ"י המשפט השני של ויירשראס לכל f רציפה ב-
יש שם נקודות מינימום ומקסימום, לכל k קיימים
כך ש-
ו-
. כעת
, לכן
ולבסוף
![\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{b-a}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{b-a}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{b-a}(b-a)\\&=\varepsilon\end{align}](/images/math/d/d/c/ddc011770bebe612438e7a0b92a1a9ee.png)
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-.
משפט 7
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
נוכיח לפונקציה עולה. לכל מתקיים
ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה
כלשהי של
המקיימת לכל k,
(ובפרט הם שווים) אזי
.
מכאן נובע כי
![\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}](/images/math/e/2/c/e2c8d5770b33bfd9dd5448c8b66ecc2f.png)
נשאיף ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-
קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-
.