88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9

מטריצות מייצגות

הגדרה. תהי $T:V\rightarrow W$ העתקה לינארית, ויהיו $E,F$ בסיסים ל$V,W$ בהתאמה. נסמן $E=\{v_1,...,v_n\}$. אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים

$[T]^E_F =\begin{pmatrix} | & | & & | \\ \big[Tv_1]_F & [Tv_2]_F &\cdots &[Tv_n]_F \\ | & | & & | \\ \end{pmatrix}$

לכל וקטור $v\in V$ מתקיים ש $[T]^E_F[v]_E=[Tv]_F$

הערה: שימו לב שאם ניקח את הוקטורים $Tv_1,...,Tv_n$ ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל $[T]^E_S$.

אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם

יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:

1. מצא את מטריצה המעבר $[I]^F_S$ (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
2. הפוך אותה על מנת לקבל את $[I]^S_F$
3. הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל $Tv_1,...,Tv_n$
4. שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה $[T]^E_S$
5. כפול מטריצות על מנת לקבל $[T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S$

אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס $B=\{v_1,...,v_n\}$. רוצים למצוא את $Tv$ עבור $v\in V$ וקטור כלשהו.

1. נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את $[T]^E_S$.
2. נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל $[T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E$
3. $[T][v]=[Tv]$ מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.