לכסון אורתוגונלי

7n3UNe <a href="http://evwvwvpxikqa.com/">evwvwvpxikqa</a>

הוכחה לאלגוריתם

ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=D }[/math] אלכסונית
ידוע שאם P אורתוגונלית אזי [math]\displaystyle{ P^t=P^{-1} }[/math]
נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP=P^tAP }[/math] אלכסונית.

טענה

A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית

הוכחה

בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן [math]\displaystyle{ A=PDP^t }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A^t=PD^tP^t=PDP^t=A }[/math] (כי D אלכסונית).

בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי [math]\displaystyle{ \lt Au,w\gt =\lt u,Aw\gt }[/math] כי A צל"ע (מעל הממשיים צל"ע=סימטרי).

לכן, [math]\displaystyle{ a\lt u,w\gt =\lt au,w\gt =\lt Au,w\gt =\lt u,Aw\gt =\lt u,bw\gt =b\lt u,w\gt }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a\lt u,w\gt =b\lt u,w\gt }[/math] אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר [math]\displaystyle{ a \neq b }[/math] ולכן בהכרח [math]\displaystyle{ \lt u,w\gt =0 }[/math] כלומר הם מאונכים.

לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה
לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.