שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

ארכיון 1

שאלות

תרגיל 4 שאלה 3

1) הכוונה היא בנקודת שבת "של g" [math]\displaystyle{ x| g*x=x }[/math] או בנקודת שבת "של G" (איקסים כך שלכל g בG מתקיים g*x=x)?

2)סימטריות של הריבוע = סיבובים? תודה

1) לא נתונה g ספציפית, לכן הכוונה לנקודת שבת "של החבורה" (ליתר דיוק, של הפעולה), כלומר איבר x ב-X שנשאר במקום ע"י כל איברי g ב-G.

2) סיבובים ושיקופים. דורון פרלמן 08:16, 30 באוגוסט 2011 (IDT)

תודה

שאלה

ב Sn, טיפוסי המחזורים הבאים: (--)(---) ו- (---)(--) נחשבים טיפוסים שונים, או זהים? תודה!

זהים: כי מחזורים זרים מתחלפים. דורון פרלמן 10:39, 30 באוגוסט 2011 (IDT)

תודה!

תרגיל 4 - שאלת בונוס 2

בשאלת הבונוס השניה בתרגיל 4, מה זה בדיוק [G,G] ו-[G,A]?

תודה מראש!;)

אלו חבורות הקומוטטורים. אם G היא חבורה ו-A,B תת-חבורות שלה, אז [math]\displaystyle{ \ [A,B] }[/math] היא תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים [math]\displaystyle{ \ [a,b] = aba^{-1}b^{-1} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \ a\in A, b\in B }[/math]. שימו לב שבאופן כללי, לא כל איבר של [math]\displaystyle{ \ [A,B] }[/math] הוא קומוטטור. עוזי ו. 13:36, 30 באוגוסט 2011 (IDT)

בקשר לשאלה 11

האם מתקיים ש exp(G)= lcm({ O(g)|g in G }) zzz? זה לפחות מתקיים בחבורה Sn? תודה!

הטענה נכונה. בכל חבורה סופית האקספוננט הוא ה-lcm של סדרי כל האיברים (בפרט ב-Sn). נסו להוכיח זאת. דורון פרלמן 08:42, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

צריך להוכיח זאת לצורך התרגיל? תודה.

לא, אתם יכולים פשוט להשתמש בזה. אני כן ממליץ (בלי קשר לתרגיל) לנסות להבין למה זה נכון. דורון פרלמן 13:26, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

תודה!

כמה שאלות לגבי שאלה 6

1. הכוונה (ב-ב.) היא שצריך להוכיח שקיים אפימורפיזם מZ^m לG, נכון? 2. אני יכול לטעון שקבוצה מסוימת יוצרת את Z^m בלי להוכיח את זה? 3. זה טריויאלי להשתמש בעובדה שניתן להגדיר הומומורפיזם ע"י שליחת יוצר בקבוצה אחת ליוצר בקבוצה אחרת? תודה!

שאלה 7 סעיף ב'

מה זה G' ?

(לא מתרגל) חבורה הנוצרת ע"י כל הקומוטטורים ב-G. למדנו זאת בחלק נרחב מהתרגול, קשה לי להאמין שלא נתקלת בזה.

מקווה שעזרתי;)

סיכומים (של סטודנטים) לקורס זה

שלום רב,

כפי שנעשה בקורסים האחרים באתר זה (כגון: אינפי 4), העליתי סיכומים של הקורס (שכתבו סטודנטים שלמדו בו) לדף השיחה שלי - ממש כאן תוך הוספת הערה שאלו סיכומים שנכתבו על ידי הסטודנטים, ולכן כמובן שאין התחייבות של המרצים ו/או המתרגלים לתקינותם.

כמו כן - הוספתי לדף הראשי של הקורס הזה קישור לדף הסיכומים, ממש כפי שנעשה בקורסים האחרים. מקווה שזה בסדר. במידה וזה בעייתי, אין לי בעיה להסיר את הקישור המדובר בעקבות בקשה שלכם ו/או שאתם תסירו אותו.

תודה, גל.

בקשה

מתרגלים יקרים, תוכלו להעלות את הפתרונות של תרגילי הבית? וגם אולי מבחנים? (זה חשוב כדי להתאמן למבחן). תודה רבה!

קיבלתם! :) הפתרונות נמצאים מתחת לתרגילים. עוד היום יעלו גם מבחנים של פרופסור מגרל משנים קודמות. --לואי

תודה

חבורות חופשיות

חבורות חופשיות זה בחומר למבחן? לא תרגלנו את הנושא והנושא מרגיש לא מובן, לכן נשמח אם לא נבחן עליו. תודה!

המבחן כבר כתוב, וכולל את כל החומר שלמדתם. חבורה חופשית זה נושא גדול, ובמסגרת מה שהספקת בהרצאה - אין הרבה מה לתרגל. אני מציעה שתעברו על החומר במחברת ותנסו להבין את הרעיונות המרכזיים. --לואי

שיעור חזרה מחר

איפה השיעור מחר? תודה מראש.

זה מופיע בהודעות, בדף הראשי

שיעור חזרה היום

הי לואי, המזכירות שלחה עכשיו מייל לכולם שהתרגול בשעה 14, למרות שכתוב באתר שהוא בשעה 16. אז מתי הוא יהיה? גל.

הי גל, בסוף הוא יהיה בשעה 14:00. ההודעה באתר תוקנה. --לואי.

כמה שאלות על תרגילי הבית

בתרגיל 2 (http://math-wiki.com/images/5/56/Solution2abstractalgebra2011.pdf) שאלה 8,ג', למה הקוסט שיצא איזומורפי לX2? אני לא רואה למה זה קורה. לאן נעלם X1? כפי שאני רואה את זה זה שווה ל X1xX2 ולא איזומורפי לX2.

זה אכן איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ X_2 }[/math]. אנסה להבהיר את זה עם דוגמא. נתבונן ב- [math]\displaystyle{ G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ H=\mathbb{Z}_4 \times \{0\} }[/math]. כעת נתבונן בקוסטים של [math]\displaystyle{ H }[/math]:

[math]\displaystyle{ (0,0)+H=H }[/math]

[math]\displaystyle{ (1,0)+H=H }[/math]

...

למעשה: [math]\displaystyle{ (a,0)+H=H }[/math].

כעת, מה קורה אם יש 1 במקום השני?

[math]\displaystyle{ (0,1)+H= \mathbb{Z}_4 \times \{1\} }[/math]

וקל לראות כי:

[math]\displaystyle{ (a,1)+H=\mathbb{Z}_4 \times \{1\} }[/math].

לכן יש רק שני קוסטים, ואכן קבוצת המחלקות של [math]\displaystyle{ H }[/math] איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math].

אותו הדבר בדיוק קורה בתרגיל המדובר. נסו לחשוב מהו האיזומורפיזם המפורש שעושה את העבודה. --לואי

בתרגיל 3 (http://math-wiki.com/images/a/a6/Solution3abstractalgebra2011.pdf) שאלת בונוס 2, מהו C_H(a)?

 זהו המרכז (centralizer) של [math]\displaystyle{ a }[/math] ב- [math]\displaystyle{ H }[/math]. 

ותוכלו להסביר את הפתרון? (למשל למה ידוע ש [math]\displaystyle{ |[a]_H|=[H:C_H(a)] }[/math]).

 ידוע את זה לגבי כל חבורה, בפרט עבור [math]\displaystyle{ H }[/math]. 

 באופן כללי, אני אוכל לנסות לכתוב את הפתרון באתר באופן יותר ברור, אבל כאן זה לא המקום להסביר את כל השאלה הזאת (כי זאת, אחרי הכל, שאלת בונוס).

בשאלת בונוס 3 באותו תרגיל, איך הגעתם לסדרי יתר מחלקות הצמידות? וגם, למה הסדר של חבורה נורמלית צריך להיות סכום של איברים מהקבוצה הנ"ל ועוד אחד? איבר היחידה לא נמצא כבר בתוך המסלולים האחרים? לדוגמה אם אנחנו במסלול בגודל 12, איבר היחידה הוא לא אחד מהאיברים במסלול, כך שלא צריך להוסיף עוד אחד ולקבל 13?

בתרגיל 4(http://math-wiki.com/images/3/39/Solution4abstractalgebra2011.pdf), שאלת בונוס 2, למה G/K אבלית <-> [G,G] מוכל בK? למה G=<A,x>?

תודה רבה!

זאת שאלה חשובה. טענה: תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה כלשהי ותהי [math]\displaystyle{ N }[/math] תת חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ G }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ G/N }[/math] אבלית אם ורק אם [math]\displaystyle{ G' \subseteq N }[/math].

הוכחה: נוכיח את הכיוון הלא טריוויאלי. נניח ש- [math]\displaystyle{ G/N }[/math] אבלית. צריך להוכיח כי[math]\displaystyle{ G' \subseteq N }[/math]. אז נניח בשלילה שלא. כלומר, קיים קומוטטור שלא שייך ל-[math]\displaystyle{ N }[/math]. זאת אומרת, קיימים [math]\displaystyle{ a,b \in G }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ [a,b]=aba^{-1}b^{-1} \notin N }[/math]. או.קיי. אבל [math]\displaystyle{ G/N }[/math] אבלית ולכן מתקיים לכל [math]\displaystyle{ a,b \in G }[/math]:

[math]\displaystyle{ [aN,bN]=N }[/math], אבל, [math]\displaystyle{ [aN,bN]=aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=aba^{-1}b^{-1}N=N }[/math] ואז מקבלים ש-[math]\displaystyle{ aba^{-1}b^{-1} \in N }[/math], בסתירה להנחה שלנו. לכן חבורת המנה היא אבלית אם ורק אם [math]\displaystyle{ N }[/math] מכילה את חבורת הקומוטטורים. --לואי

תודה על התשובות!

מבחן 2004 מועד ב שאלה 6א

השאלה היא: "בעזרת משפט ברנסייד מצא מספר ריבועים לא שקולים עד כדי סיבובים ושיקופים אם מותר לצבוע את הקודקודים בשני צבעים קבועים". האם אפשר למצוע את מספר הריבועים השקולים (כפי שלמדנו לעשות בעזרת הלמה של ברנסייד), ואז לקחת את מספר כלל האפשרויות, לחסר ממנו את מספר הצביעות השקולות שמצאנו ולקבל את מספר הצביעות הלא שקולות? תודה מראש, גל.

לא, כי משפט ברנסייד בעצמו מספק את התשובה הדרושה. לפי משפט ברנסייד אנחנו מוצאים את מספר המסלולים של פעולת החבורה. בכל מסלול - איברי המסלול הם שקולים אחד לשני, מצד שני, שני איברים ממסלולים שונים - לא יהיו שקולים. לכן למצוא את מספר המסלולים משמע למצוא את מספר הצביעות השונות, או את מספר הריבועים הלא שקולים (במקרה של השאלה הנ"ל). לואי

נ.ב. מצאתי עוד מבחנים נוספים של פרופ' מגרל שלא העלתם, אז העלתי אותם לדף המבחנים.

נהדר, תודה! :) לואי

שאלה

האם מתקיים [math]\displaystyle{ Un~=Z_\phi(n) }[/math] (הכוונה היא שחבורת ההפיכים של Zn איזו' לZ של פי (פונקצית אוילר) של n), לפחות אולי לn ראשוני? תודה!

אני לא בטוחה שהבנתי את השאלה, אבל על פי ההגדרה: חבורת אוילר [math]\displaystyle{ U_n }[/math] היא חבורת האיברים ההפיכים של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math].

האם זה עונה על השאלה?..--לואי

אני די בטוח שהשאלה פה היא האם חבורת אוילר מסדר n כלשהו איזו' לZ של פי של אן (כלומר לחבורת מודולו פי אן - כאשר פי אן היא פונקציית אוילר או במילים אחרות העוצמה של חבורת אוילר). התשובה לזה, כמובן, קשורה לשאלה האם חבורת אוילר היא ציקלית (שכן האיזו ששאלת עליו יקרה אם"ם היא ציקלית). עם זאת לא כל חבורת אוילר היא ציקלית - למשל U_20. עם זאת, חבורות אבליות הן אבליות ולכן ניתנות לפירוק למכפלה של חבורות ציקליות. מקווה שעזרתי, גל.

שיעור חזרה עם המרצה

מתי ואיפה הוא יתקיים? תודה!

ראה מייל שפרופ' מגרל שלח לי לגבי זמן השיעור, מיקומו ומטרותיו. גל.

" השיעור יתקיים ביום ראשון ב 2 לאוקטובר בשעה 16:00 חדר המחלקה אחד מהאופציות אבל יתכן שיהיה שינוי חדר באותו יום

אני מתכוון לדבר קצת על החומר -- לסכם כמה דברים ואם יש לכם שאולות לגבי המשפטים למשל אם משהו לא ברור בהוכחה

זאת המטרה של השיעור"

שאלה - אוטומורפיזמים ב-Sn

ערב טוב,

האם אוטומורפיזם כלשהו על Sn שומר על סימן תמורה? כלומר:

[math]\displaystyle{ \forall f \in Aut(S_n), \alpha \in S_n : sign(\alpha) = sign(f(\alpha)) }[/math]

תודה מראש!

בהחלט! יש לא מעט אוטומורפיזמים כאלה.

קודם כל - אוטומורפיזם הזהות. או למשל: אוטומורפיזם ההצמדה (הוא שומר על מבנה המחזורים ולכן שומר גם על הסימן) -- לואי

תודה, אך את זאת ידעתי כבר קודם. השאלה שלי הייתה האם כל אוטומורפיזם כללי הוא בהכרח שומר סימן, אלא אם כן התכוונת שכל אוטומורפיזם שומר סימן (והדוגמאות היו כדי להסביר).

אז ככה, זה מה שאני יודעת: עבור [math]\displaystyle{ n \neq 2,6 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Aut(S_n)=Inn(S_n) }[/math], ז"א יש רק את האוטומורפיזמים של ההצמדה (ואז הם שומרים סימן). אבל אני לא ממש בטוחה מה קורה ב- [math]\displaystyle{ S_6 }[/math], לא קופץ לי לראש כרגע... שווה לבדוק :)--לואי

אשמח להוסיף כאן עוד שאלה שנתקלתי בה, (ובזמן שניסיתי להוכיח אותה עלה בראשי השאלה לגבי שמירת סימן), להוכיח שכל אוטומורפיזם על Sn שולח חילוף אל חילוף. יש לי עוד שאלה נוספת לגבי שאלה שמצאתי, אשמח אם אוכל לשאול אותך זאת

באי-מייל, מה האי-מייל שלך?

זה רשום בדף המשתמש שלי :) --לואי

תודה מראש ;)

ברור שאוטומורפיזם של הצמדה שומר על הסימן (כי הוא שומר על חילופים). כפי שלואי כתבה, כל אוטומורפיזם של החבורה הסימטרית, פרט למקרה n=6, הוא פנימי (במקרה n=6 המנה של חבורת האוטומורפיזמים ביחס לפנימיים היא מסדר 2: יש 1440 אוטומורפיזמים, מחציתם פנימיים), ולכן זה פותר את הבעיה - אבל כדי להוכיח את המשפט הזה (שכל האוטומורפיזמים פנימיים) צריך להראות שאין עוד מחלקה בגודל של מחלקת החילופים, וזה דורש קומבינטוריקה לא טריוויאלית.

אפשר להוכיח את הטענה הכללית (כל אוטומורפיזם שומר על הסימן) באופן הבא. החילופים צמודים זה לזה; לכן גם התמונות שלהם צמודות זו לזו. אם התמונה של חילוף היתה זוגית, ממילא היו כל התמורות עוברות לתמורות זוגיות, אבל אז ההעתקה אינה על החבורה. לכן התמונה של (כל) חילוף היא אי-זוגית. מכאן שהזוגיות של התמונה של מכפלת חילופים שווה לזוגיות של המכפלה עצמה. עוזי ו. 15:29, 4 באוקטובר 2011 (IST)

טעות בתשובה בתרגיל 2

בתרגיל 2 שאלה 2 א', חישבו את פי של 102=2*51. כתוב שפי של 51 זה 50 אבל 51=17*3 (לא ראשוני) לכן התשובה בתרגיל צריכה להיות 32 ולא 50

חופית

מתי יעלו פתרונות למבחן?

(כותרת)

 ::עובדים על זה! ואגב, זה יהיה הרבה יותר מהיר אם יהיו מתנדבים לכתיבת הפתרונות :) לואי