פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4
נסמן את סדר המטריצה ב- .
נמצא פ"א: כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.
נראה שזהו גם הפ"מ של A:
הפ"מ מחלק את הפ"א, והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א. לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה , כאשר .
נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים:
אבל
(החישוב האחרון ברור גם ממשפט קיילי-המילטון, שכן הצבנו את לפ"א שלה).
ידוע שהפ״מ מאפס את A, ולכן נסיק שהפ״מ זהה לפ״א. מכאן אפשר לומר שגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע״ע 1 הוא 3. אבל A היא כבר מסדר 3x3 ולכן זהו הבלוק היחיד בצורת ז׳ורדן שלה. לכן צורת ז׳ורדן היא .
סיימנו את התרגיל.
מכיוון שכבר כתבתי וחבל לי למחוק, נראה כעת נימוק יותר אלמנטרי:
קיבלנו שהמטריצה נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות.
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.
לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה כך ש:
נעביר אגפים ונקבל:
קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא
כפי שקיבלנו קודם.
כנדרש! :)