פתרון 4 (אלעד איטח)
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A.
אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A
שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון).
לכן הפולינום המינימאלי של A הוא
ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע
ו-
הריבוי הגיאומטרי שלו.
הריבוי האלגברי של ע"ע
מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו
מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן,
הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או
שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן,
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A.
מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד.
A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1.
הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם
בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2.
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר
ולכן יש בלוק והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1 ולכן:
ולכן צורת הז'ורדן של A היא