פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב,

1) היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן:

א) נניח ש$\sum^{\infty } b_n$ מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן $\sum^{\infty } 2^nb_{2^n}$ מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש $2^nb_{2^n}\rightarrow 0$.

לכל n קיים k כך ש- $2^k\leq n <2^{k+1}$ (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת $k=\left \lfloor log_2{n} \right \rfloor$).

הסדרה $\left \{ b_n \right \}$ יורדת ולכן $x<y\rightarrow b_x>b_y$.

נפעיל נימוק זה על התוצאה שקיבלנו, ונקבל ש $b_{2^{k+1}}\leq b_n \leq b_{2^k}$.

נכפיל ב$n$ (חיובי) את אגפי האי-שוויון: $nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k}$

נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: $0\leftarrow \frac{1}{2}2^{k+1}b_{2^{k+1}}=2^kb_{2^{k+1}}\leq nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k}\leq 2^{k+1}b_{2^k}\rightarrow 0$\

ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש, $nb_b\rightarrow 0$.

ב) דוגמה נגדית: $b_n=\frac{1}{n\cdot ln(n)}$. ממבחן העיבוי הטור $\sum b_n$ מתבדר, אך בכל זאת $nb_n=\frac{1}{ ln(n)}\rightarrow 0$.

ג) ניקח את הסדרה $b_n=\left\{\begin{matrix} 2^{-k} &\exists k \in \mathbb{N}:n=2^k \\ 0 & else \end{matrix}\right.=1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,0,0,\frac{1}{8}...$.

הטור $\sum b_n$ מתכנס (טור גיאומטרי עם אפסים שלא משפיעים), אבל בכל זאת $nb_n=1,1,0,1,0,0,0,1...$ אינו מתכנס שכן יש לו תת סדרה ששווה 1 ובפרט שואפת לאחת (וידוע שאם סדרה מתכנסת לגבול אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת אליו).

2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור $\sum cos(\frac{1}{n})$ מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן $\lim_{n \to \infty }cos(\frac{1}{n})=cos0=1$ שונה מ0.

הטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי. (כי $\lim_{n \to \infty }a_n=0\leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(-1)^na_n=0$)

ב) נבדוק התכנסות בהחלט: $\sum \begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix}\frac{1}{2^{3n}}=:\sum a_n$. נוכיח התכנסות בהחלט ע"י שימוש במבחן המנה:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}= \begin{pmatrix} 2n+2\\ n+1 \end{pmatrix}\frac{1}{2^{3n+3}}\cdot \frac{2^{3n}}{\begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix}}=$

$=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!^2}\cdot \frac{n!^2}{(2n)!\cdot 2^3}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)^2}\cdot \frac{1}{8(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{8(n+1)^2}=\frac{2n+1}{4n+4}$

נעבור לגבול: $\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{4n+4}=\frac{1}{2}<1$, לכן הטור מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס.