פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב,
1) היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן:
א) נניח ש מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש .
לכל n קיים k כך ש- (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת ).
הסדרה יורדת ולכן .
נפעיל נימוק זה על התוצאה שקיבלנו, ונקבל ש .
נכפיל ב (חיובי) את אגפי האי-שוויון:
נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: \
ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש, .
ב) דוגמה נגדית: . ממבחן העיבוי הטור מתבדר, אך בכל זאת .
ג) ניקח את הסדרה .
הטור מתכנס (טור גיאומטרי עם אפסים שלא משפיעים), אבל בכל זאת אינו מתכנס שכן יש לו תת סדרה ששווה 1 ובפרט שואפת לאחת (וידוע שאם סדרה מתכנסת לגבול אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת אליו).
2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן שונה מ0.
הטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי. (כי )
ב) נבדוק התכנסות בהחלט: . נוכיח התכנסות בהחלט ע"י שימוש במבחן המנה:
נעבור לגבול: , לכן הטור מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס.
ג) נבדוק התכנסות בהחלט:
מתקיים
(שני האגפים חיוביים ולוג היא פונקצייה עולה. סימַנו כאן ln בתור לוג), ולכן ממבחן ההשוואה נובע שהתבדרות הטור ההרמוני גוררת את התבדרות הטור שלנו, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. (למישהו יש נימוק יותר שגרתי?)
הטור כפול -1 מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ, ולכן הטור שלנו מתכנס בתנאי אף הוא (כפל בקבוע לא משנה להתכנסות). (הכפלתי משום שהטור עולה במקום יורד, ואנחנו ניסחנו את לייבניץ עבור סדרה יורדת)
2)א) הפונקצייה לא מוגדרת ב0, ובפרט לא רציפה שם, ובפרט לא רבמ"ש.
ב) נגזור: .
בקטע הפונקצייה היא רציפה בקטע סגור ולכן רבמ"ש לפי משפט קנטור.
בקרן ובקרן נגזרת הפונ' חסומה ע"י ולכן הפונ' רבמ"ש בכל אחת מהן.
כעת ניזכר בכך שפונ' רציפה במ"ש באוסף קטעים רציפה במ"ש גם על האיחוד הכללי שלהם, ולכן קיבלנו שהפונקצייה רציפה במ"ש בכל הישר.
ג)