מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1

דוגמא

מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

• [math]\displaystyle{ |x^2-1| + |x-2|\gt 4x+5 }[/math]

פתרון

1

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים

• [math]\displaystyle{ x^2+2x+1\leq 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (1-x)(x+6)\gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ -3x^2 +6x - 1 \geq 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)\gt 0 }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

• [math]\displaystyle{ |x|\leq 7 }[/math]

• [math]\displaystyle{ |2x-1|\lt 7 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x-1)|x-1| \gt 1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x} \gt 1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ |x-1|\gt |x^2-1| }[/math]

• [math]\displaystyle{ |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| \gt 2x }[/math]

2

נגדיר שתי פונקציות

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\gt 0 \\ 0 & x=0 \\ -x^2 & x\lt 0\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x-1 & x\gt 1 \\ |x|+x & x \leq 1\end{cases} }[/math]

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

• [math]\displaystyle{ g(x)\leq 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ f(x+1)\gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ g\big(f(x)\Big) \geq 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ f(x+1) +g(x-1) \gt x }[/math]

• [math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)| \lt x }[/math]