מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8

1

קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

2

הגדרה:

קבוצת וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{R} }[/math] כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:

וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ v_1+v_2+...+v_n \neq 0 }[/math]

וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ 0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0 }[/math]

וקטורים המקיימים את התנאי- אם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n=0 }[/math]

וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]

3

תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון [math]\displaystyle{ C \subseteq A\cup B }[/math].

הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:

[math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] או [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]

אם [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]

[math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]

[math]\displaystyle{ C\backslash A \subseteq B }[/math]

אם [math]\displaystyle{ C=A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B }[/math]