הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

התכנסות במידה שווה (המשך)

תרגיל ברוח מבחן

נניח ש-[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש על I וש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] נקודתית ב-I.

פתרון

אם [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-I אז נוכל לקחת [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] ולכן קיים n מסויים כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-f_n(x)|\lt 1 }[/math] ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)|-|f_n(x)|\lt 1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |f(x)|\lt |f_n(x)|+1 }[/math]. נתון ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] חסומה, נניח [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le M }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ |f(x)|\lt M+1 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר [math]\displaystyle{ f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] נקודתית וכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] חסומה ע"י n, אלא ש-[math]\displaystyle{ f(x)=\frac1x }[/math], שבוודאי לא חסומה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הגדרה: נתונה סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|\lt \varepsilon }[/math] ב-I.

משפט 5

סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.

הוכחה

תחילה נניח שקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) }[/math] במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. לפי הנתון ש-[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-I, קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f(x)-f_n(x)|\lt \frac\varepsilon2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math].

כעת אם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|\lt \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon }[/math].

לצד השני, נניח ש-[math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] כלשהו ונעיר שסדרת המספרים [math]\displaystyle{ \{f_n(x_0)\} }[/math] היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f_n(x_0)-f_m(x_0)|\lt \varepsilon }[/math]) ולפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_n(x_0) }[/math]. הדבר נכון לכל [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] וכך נוצרת פונקציה גבולית [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) }[/math]. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. עפ"י תנאי קושי יש [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt n_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|\lt \frac\varepsilon2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]. כעת נבחר [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] מסויים ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] נשאיף [math]\displaystyle{ m\to\infty }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2\lt \varepsilon }[/math]. לכן הוכחנו ש-[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-I. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

טורי פונקציות

נאמר שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס ל-[math]\displaystyle{ S(x) }[/math] במ"ש על I אם [math]\displaystyle{ S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x) }[/math] במ"ש על I.

הגדרה: הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|\lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math].

משפט 6

הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש על I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.

הוכחה

לפי הגדרה [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ \{S_N(x)\} }[/math] מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם [math]\displaystyle{ \{S_N(x)\} }[/math] קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |S_n(x)-S_m(x)|\lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math], שמתקיים אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt m\gt n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|\lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט 7 (מבחן ה-M של ויירשטראס, Weierstrass M-test)

נניח שלכל n הפונקציה [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] מוגדרת ב-I וחסומה שם: [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le M_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]. עוד נניח שהסכום [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס במובן הצר. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש על I.

הוכחה

נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. כיוון ש-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=m}^n M_k\right|\lt \varepsilon }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=m}^n M_k\lt \varepsilon }[/math] (כי [math]\displaystyle{ M_k\ge0 }[/math]). כעת אם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|=\sum_{k=m}^n M_k\lt \varepsilon }[/math] ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] במ"ש על I. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה

בתנאים של מבחן ויירשראס, אם [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] מתכנס בהחלט.

הוכחה

נקח [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] כלשהו. לפי הנתון [math]\displaystyle{ \forall n:\ |f_n(x)|\le M_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum M_n }[/math] מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה [math]\displaystyle{ \sum |f_n(x)| }[/math] מתכנס. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה

נוכיח שהטור ההנדסי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] מתכנס נקודתית בקטע [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] אבל לא במ"ש ונוכיח שאם [math]\displaystyle{ 0\lt r\lt 1 }[/math] הטור מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math]:

כבר הוכחנו שאם [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] מתכנס ל-[math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math]. נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי [math]\displaystyle{ S_N }[/math] חסום בקטע [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]: [math]\displaystyle{ |S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N }[/math]. אם היה נכון ש-[math]\displaystyle{ S_N(x)\to\frac1{1-x} }[/math] במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה [math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math] חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש.

נותר להוכיח שאם [math]\displaystyle{ r\in(0,1) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x} }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math]. ובכן בקטע [math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math] מתקייים [math]\displaystyle{ |x^n|\le r^n=M_n }[/math] כאן [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r} }[/math]. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן ויירשראס אומר ש-[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט 8

נניח ש-[math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x) }[/math] עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אז גם S רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

הוכחה

לכל N הסכום החלקי [math]\displaystyle{ S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x) }[/math] סכום סופי של פונקציות רציפות ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

מאינפי 1 ידוע ש-[math]\displaystyle{ S_N(x) }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] עבור כל N. נתון [math]\displaystyle{ S_N\to S }[/math] במ"ש על I.

לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה

בתנאים של משפט 8, אם כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו.

משפט 9

נניח [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. עוד נניח שכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי S אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f }[/math].

הוכחה

כרגיל נגדיר סכומים חלקיים [math]\displaystyle{ S_N }[/math] ונתון [math]\displaystyle{ S_N\to S }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. לפי משפט 3 [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n }[/math] כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n }[/math] ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n }[/math], והוא שווה ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט 10

יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח:

עבור נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] אחת לפחות הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x_0) }[/math] מתכנס.
טור הנגזרות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math] מתכנס במ"ש לפונקציה s על I.

אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים [math]\displaystyle{ S'=s }[/math]. בפרט, בתנאים אלה [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x) }[/math].

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

הוכחה

נגדיר סכומים חלקיים [math]\displaystyle{ S_N=\sum_{n=1}^N f_n }[/math]. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty} S_N(x) }[/math]. הנתון השני אומר שקיים [math]\displaystyle{ s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x) }[/math] במ"ש ב-I. ז"א הסדרה [math]\displaystyle{ \{S_N(x)\} }[/math] מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים [math]\displaystyle{ S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x) }[/math] ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-[math]\displaystyle{ S'=s }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math]. מכיוון ש-[math]\displaystyle{ S'=s }[/math] נסיק [math]\displaystyle{ \frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה ממבחן

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} }[/math]. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].

פתרון

לפי מבחן ה-M של ויירשראס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: [math]\displaystyle{ \forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3} }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ \sum\frac1{n^3} }[/math] מתכנס, לכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} }[/math] מתכנס במ"ש על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש-[math]\displaystyle{ S' }[/math] קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} }[/math] מתכנס בכל נקודה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] וכן הטור הגזור איבר-איבר הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2} }[/math]. לכל n מתקיים [math]\displaystyle{ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \sum\frac1{n^2} }[/math] מתכנס. ע"י מבחן ה-M של ויירשראס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ S' }[/math] קיימת ובפרט [math]\displaystyle{ S'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2} }[/math]. ברור כי [math]\displaystyle{ \frac{\cos(nx)}{n^2} }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ולכן, מכיוון שההתכנסות ל-[math]\displaystyle{ S' }[/math] במ"ש, גם [math]\displaystyle{ S' }[/math] רציפה (לפי משפט 8). [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]