88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־16:05, 15 בנובמבר 2012 מאת Michael (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו: <math>E</math> מדידה <math>\iff</math> פוק...")
שאלה 1
יהי מרחב מדיד, ותהי
. הוכיחו:
מדידה
פוקנצית האינדיקטור
היא מדידה.
שאלה 2
בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים יתקיים לכל
. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:
אםתת קבוצה צפופה של
, ולכל
אחד מהתנאים
מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.
שאלה 3
יהיו מ"מ,
ו-
רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות,
היא פונקציה מדידה.
(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות מהתרגול הן מדידות).
שאלה 4
תהי מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):
א.
ב.
שאלה 5
יהי מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם
מדידה ומקיימת
לכל
, אזי הפונקציה
גם היא מדידה.
בהצלחה!