88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעד/הקדמה למשפט ז'ורדן

שאלה 1:

מצאו את כל תתי המרחבים האינווריאנטים של העתקת הנגזרת [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}_n[x]\rightarrow \mathbb{R}_n[x] }[/math]

תשובה: [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_k[x] }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\leq n }[/math]

שאלה 2:

אם [math]\displaystyle{ T,S }[/math] אופרטורים כך ש [math]\displaystyle{ TS=ST }[/math]

אזי [math]\displaystyle{ Im(S),Ker(S) }[/math] הם [math]\displaystyle{ T }[/math] אינווריאנטיים

הגדרת מרחב עצמי מוכלל

שאלה 3:

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ Ker(T-\lambda I)^k }[/math] הוא [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] אינווריאנטי

שאלה 4:

יהי אופרטור [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math], נניח כי הפולינום האופייני הוא מהצורה [math]\displaystyle{ f_T=gh }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ g,h }[/math] זרים זה לזה.

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ V=Ker(g(T))\oplus Ker(h(T)) }[/math]

שאלה 5: יהי אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] עם פולינום מל"ל וk ע"ע עצמיים שונים [math]\displaystyle{ \lambda_1,...,\lambda_k }[/math] עם ריבויים אלגבריים [math]\displaystyle{ n_1,...,n_k }[/math] בהתאמה.

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ V=Ker(T-\lambda_1 I)^{n_1}\oplus\cdots\oplus Ker(T-\lambda_k I)^{n_k} }[/math]

שימו לב כי בפועל ניתן לבחור דרגות קטנות יותר.

שאלה 6:

הוכיחו כי אופרטור ניליפוטנטי [math]\displaystyle{ T }[/math] דומה לבלוק ז'ורדן אם ורק אם קיים מסלול [math]\displaystyle{ u,Tu,T^2u,...,T^{n-1}u }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ T^{n-1}u\neq 0 }[/math], וגם [math]\displaystyle{ T^nu=0 }[/math].

שאלה 7: הוכיחו כי אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] דומה לבלוק ז'ורדן עם ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] אם ורק אם קיים מסלול [math]\displaystyle{ u,(T-\lambda I)u,(T-\lambda I)^2u,...,(T-\lambda I)^{n-1}u }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{n-1}u\neq 0 }[/math], וגם [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^nu=0 }[/math].