לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

שאלות

שאלה 6.34

אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

מרוכבים בבוחן

שלום רב, האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו? תודה מראש.

תשובה

שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).

תשובה לתשובה :)

ראשית, תודה על התשובה המהירה. ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] במשהו כמו [math]\displaystyle{ cos(\alpha)=0.124 }[/math], נכון? והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר? תודה שוב.

הוכחה שיש איבר הופכי בשדה [math]\displaystyle{ Z_p }[/math]

ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם [math]\displaystyle{ a*b=a*c }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ b=c }[/math].

בשלב השני, אומרים שיש [math]\displaystyle{ p }[/math] איברים שונים בקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] [math]\displaystyle{ a*0, a*1, a*2...a*(p-1) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math], וגם P איברים ב-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math], לכן כל האיברים ב-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math] נמצאים ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] כולל [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. כלומר קיים [math]\displaystyle{ b }[/math] ב-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a*b=1 }[/math].

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר [math]\displaystyle{ a^-1 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a*a^-1=1 }[/math]. כלומר יש איבר הופכי ל-[math]\displaystyle{ a }[/math].

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים [math]\displaystyle{ b }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a*b=1 }[/math], כלומר קיים איבר הופכי ל-[math]\displaystyle{ a }[/math].

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

תשובה

שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה [math]\displaystyle{ Z_p }[/math] כלשהו): יהי [math]\displaystyle{ a*b=a*c }[/math] ומכאן ש - [math]\displaystyle{ b=c }[/math]. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח [math]\displaystyle{ a*b=a*c=1 }[/math], ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל [math]\displaystyle{ a*b=4=a*c }[/math]. במקרה זה אכן מתקיים ש-[math]\displaystyle{ b=c }[/math] אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש: הוכחת ש-1 נמצא ב- [math]\displaystyle{ A }[/math] ועפ"י הגדרת הקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] שנתת יתקיים ש: [math]\displaystyle{ a*p }[/math] גם הוא איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math]. יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math] איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- [math]\displaystyle{ Z_p }[/math] מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

תשובה נוספת(ארז)

גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל זה מה שצריך להוכיח ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA שונים זה מזה ולכן כל האיברים של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

שאלה

האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

תשובה

3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.