קוד:דוגמאות לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

\subsection{דוגמה 1 - מטריצת היחידה}

ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:

\begin{list_type}

\item \underline{שיטה ראשונה} - נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$.

\item \underline{שיטה שנייה (לפי המשפט)} - נשים לב כי $\lambda I-A=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda-1 \end{pmatrix}$. לכן, $\det\left(\lambda I-A\right) = \left(\lambda-1\right)^n$. אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$.

\end{list_type}

לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.