קוד:דוגמאות לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

\subsection{דוגמה 1 - מטריצת היחידה}

ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:

\begin{list_type}

\item \underline{שיטה ראשונה} - נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$.

\item \underline{שיטה שנייה (לפי המשפט)} - נשים לב כי $\lambda I-A=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda-1 \end{pmatrix}$. לכן, $\det\left(\lambda I-A\right) = \left(\lambda-1\right)^n\$. אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$.

\end{list_type}

לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.

\subsection{דוגמה 2 - מטריצה אלכסונית כללית}

נסמן $A=D=(\begin{matrix} \alpha _{1} & & 0 & \\

& \ddots & & \\

0 & & \alpha _{n} & \\ \end{matrix} )$

נרצה לדעת מהו $spec\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: $\lambda I-D=\begin{pmatrix} \lambda-\alpha_1 & &0 \\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda-\alpha_n \end{pmatrix}$. הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$.

קיבלנו ש-$spec(D)=\left{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right}$. אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה.