קוד:הגדרת מכפלה פנימית

אנחנו מתחילים פרק חדש בחומר שלנו, שבו ננסה להגדיר גיאומטריה במרחבים וקטוריים. הכוונה ב"גיאומטריה" היא שנגדיר אורך וזווית של וקטורים. לצורך כך, נגביל את השדה שאנו עובדים מעליו, $\mathbb{F}$, ל-$\mathbb{R}$ או ל-$\mathbb{C}$. לא נציין זאת בכל פעם, אך נניח הנחה זו מעתה ועד סוף הקורס.

\begin{def}

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$. \textbf{מכפלה פנימית} היא העתקה $\left \langle \; ,\; \right \rangle:V\times V\rightarrow \mathbb{F}$, המוגדרת על ידי $\left(v,w \right ) \mapsto \left\langle v,w\right\rangle$, והמקיימת את האקסיומות הבאות:

\begin{enumerate}

\item \underline{לינאריות ברכיב הראשון} - לכל $v_1,v_2,w\in V$ ולכל $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$,

$$\left\langle \alpha v_1+\beta v_2,w \right\rangle=\alpha\left\langle v_1,w\right\rangle+\beta\left \langle v_2,w \right \rangle$$

\item \underline{הרמיטיות} - לכל $v,w\in V$,

$$\left \langle v,w \right \rangle=\overline{\left \langle w,v \right \rangle}$$

\item \underline{אי-שליליות} - בחלק זה יש שתי דרישות:

\begin{enumerate}

\item לכל $v\in V$,

$$\left \langle v,v \right \rangle\in\mathbb{R}_{\ge0}$$

\item

$$v=0\Leftrightarrow\left \langle v,v \right \rangle=0$$

\end{enumerate} \end{enumerate}

\end{def}