קוד:הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי

\begin{proof}[הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי]

\textit{לא לבעלי לב חלש!}

נניח כי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$. נשים לב ש-$\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)\subseteq\ker T$, ולכן $$\operatorname{im}\left(T^{k-1} \right )\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T\subseteq\cdots\subseteq\ker T$$ ניקח בסיס $T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )$ של $\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)$.

נשלים אותו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right )$$ נשלים את הבסיס שקיבלנו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $$T^{k-3}\left(v_{r_2+1} \right ),\dots,T^{k-3}\left(v_{r_3} \right )$$ נמשיך באותו האופן עד שנקבל בסיס של $\ker T$, שיהיה מהצורה (המפחידה) $$T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,$$ $$T\left(v_{r_{k+2}+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}$$ (שימו לב שזה בסיס ל-$\ker T$ ולא לכל $V$, ולכן הוא לא הבסיס המז'רדן)

נוכיח שאיחוד המסלולים הבא מהווה בסיס של $V$ (זהירות - מפלצת):

$$\{T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_1 \right ),v_1,\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1} \right ),v_{r_1},$$ $$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1+1} \right ),v_{r_1+1},\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,T\left(v_{r_2} \right ),v_{r_2},$$ $$\cdots$$ $$T\left(v_{r_{k-2}+1} \right ),v_{r_{k-2}+1},\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),\dots,v_{r_{k-1}},$$ $$v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}\}$$

\begin{description}

\item[בת"ל] ניקח צירוף לינארי מתאפס $$\left(\star \right )\quad\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ נפעיל $T^{k-1}$ על שני האגפים. כמעט כל הווקטורים יתאפסו לפי בנייתם, ונקבל כי $$\alpha_{11}T^{k-1}\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_{1r_1}T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )=0$$ אבל זהו צירוף של איברי בסיס של $\operatorname{im} T^{k-1}$, ולכן כל מקדמי השורה הראשונה מתאפסים; $$\alpha_{11}=\cdots=\alpha_{1r_1}=0$$ נחזור ל-$\left(\star\right)$. קיבלנו $$\left(\star\star \right )\quad\sum_{i=2}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=$$ $$=\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ באופן דומה נוכל להפעיל $T^{k-2}$, ולקבל כי כל מקדמי השורה השנייה מתאפסים; $\alpha_{21}=\cdots=\alpha_{2r_2}=0$.

נמשיך באותו האופן, להראות שלכל $i=1,\dots,k$, מקדמי השורה ה-$i$ מתאפסים. לכן, כל המקדמים הם $0$. הוכחנו בת"ל!

\item[פורשת] לכל $m=1,\dots,k-1$, הבסיס שבחרנו עבור $\operatorname{im} T^m\cap\ker T$ מוכל ב-$T^m\left[B\right]$, ובפרט ב-$T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$, שהוא תת-מרחב. לכן, $$\operatorname{im} T^m\cap\ker T\subseteq T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ יהי $v\in V$. אזי $T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\subseteq \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$.

\begin{description}

\item[טענת עזר:] לכל $m=1,\dots,k-1$, אם $T^m\left(v\right)\in T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$ , אזי $$T^{m-1}\left(v\right)\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$

\item[הוכחה:] יהי $u\in \operatorname{Span}\left(B\right)$ שעבורו $T^m\left(u \right )=T^m\left(v \right )$. לכן, $$T\left(T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right ) \right )=0$$ אם כן, $$T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right )\in \operatorname{im} T^{m-1}\cap\ker T\subseteq T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$$

אבל $T^{m-1}\left(u \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, ולכן $T^{m-1}\left(v \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, כדרוש.

\end{description}

ידוע $$T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ . לכן, לפי טענת העזר, $$T^{k-2}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-2}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ , מכאן $$T^{k-3}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-3}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ , וכן הלאה, עד שמגיעים לכך שמתקיים $$v=T^{0}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{0}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]=\operatorname{Span}\left(B\right)$$ כדרוש.

\end{description}

\end{proof}