קוד:וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים של מטריצה נורמלית
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־07:22, 30 באוגוסט 2014 מאת גיא בלשר (שיחה) (יצירת דף עם התוכן "לאור המשפט הקודם, נוכל להגיע למסקנה לגבי הקשר בין וקטורים עצמיים של מטריצה נורמלית הקשור...")
לאור המשפט הקודם, נוכל להגיע למסקנה לגבי הקשר בין וקטורים עצמיים של מטריצה נורמלית הקשורים לערכים עצמיים שונים.
\begin{corollary}
אם $A$ מטריצה נורמלית, $\lambda,\mu$ ערכים עצמיים שונים של $A$, ו-$u,v$ וקטורים עצמיים של $A$ הקשורים ל-$\lambda,\mu$ בהתאמה, אזי $u\perp v$.
\end{corollary}
\begin{proof}
$$\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle\Rightarrow\left \langle \lambda u,v \right \rangle=\left \langle u,\overline{\mu} v \right \rangle\Rightarrow \lambda\left \langle u,v \right \rangle=\mu\left \langle u,v \right \rangle\underset{\lambda\neq\mu}{\Rightarrow}\left \langle u,v \right \rangle=0\Rightarrowu\perp v$$
\end{proof}