קוד:מטריצה מייצגת עם פירוק לתתי מרחבים אינווריאנטיים

כעת ננסה לראות מה קורה אם אנו מפרקים את המרחב לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, ומסתכלים על מטריצה מייצגת של אופרטור. כך יתחברו שלושה מושגים שלמדנו לאחרונה - מטריצה אלכסונית בלוקים, סכום ישר ומרחבים אינווריאנטיים.

\textbf{למה:}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי.

\begin{enumerate}

\item יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים. יהי $B_i$ בסיס של $U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. נסמן $B=B_1\cup\dots\cup B_k=\bigcup_{i=1}^kB_i$. אזי

$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \left[T \right ]_{B_1} & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \left[T \right ]_{B_k} \end{matrix} \right )$

\item אם $B$ בסיס של $V$, ואם

$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} A_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_k \end{matrix} \right )$

אזי אפשר לחלק את $B$ לאיחוד זר $B=B_1\cup\dots\cup B_k$, כך ש-$span\left(B_i\right)=U_i$ לכל $i=1,\dots,k$ )העובדה ש-$V=\oplus U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ נובעת מהאיחוד של $B_i$(.

\end{enumerate}

\textit{הוכחה:}

\begin{enumerate}

\item עבור $k=1$ אין מה להוכיח. נניח ש-$k\ge 2$, ונשתמש באינדוקציה לפי $k$.

\underline{בסיס האינדוקציה} - $k=2$. כלומר, $V=U_1\oplus U_2$, $B_1$ בסיס ל-$U_1$ ו-$B_2$ בסיס ל-$U_2$. נסמן $B_1=\left \{ v_1,\dots,v_r \right \}$ ו-$B_2=\left \{ u_1,\dots,u_s \right \}$. אזי $B=B_1\cup B_2=\left \{ v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s \right \}$.

נחשב את $\left[T\right]_B$.

$U_1$ תת-מרחב אינווריאנטי, ולכן לכל $i=1,\dots,r$, $T\left(v_i\right)\in U_1$, ומכאן ש- $\left[T\left(v_i \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix} \left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B_1} \\ 0 \end{matrix} \right ) \begin{matrix} r\\ s \end{matrix}$.

באופן דומה, לכל $j=1,\dots,s$, $\left[T\left(u_j \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix} 0\\ \left[T\left(u_j \right ) \right ]_{B_2} \end{matrix} \right ) \begin{matrix} r\\ s \end{matrix}$.

בסך הכל, קיבלנו שמתקיים

$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B},\dots,\left[T\left(u_s \right ) \right ]_B \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B_1} & \cdots & \left[T\left(v_r \right ) \right ]_{B_1} & & 0 & \\

& 0 &  & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_{B_2} & \cdots & \left[T\left(u_s \right ) \right ]_{B_2}\end{matrix}\right)$

\underline{צעד האינדוקציה} - נניח כי $V=\left(U_1\oplus\cdots\oplus U_{k-1}\right)\oplus U_k$, וכן $B=\bigcup_{i=1}^kB_i$. לפי המקרה $k=2$ שהוכחנו,

$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \left[T \right ]_{B_1\cup\dots\cup B_{k-1}} &0 \\ 0 & \left[T \right ]_{B_k} \end{matrix} \right )\overset{\textrm{induction hypothesis}}{=}\left(\begin{matrix} \left[T \right ]_{B_1} & & & 0\\

& \ddots &  & \\ 
&  & \left[T \right ]_{B_{k-1}} & \\ 

0 & & & \left[T \right ]_{B_k} \end{matrix} \right )$

כדרוש.

\item נתונה המטריצה המייצגת $\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} A_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_k \end{matrix} \right )$ יחסית לבסיס $B$ כלשהו.

עבור $k=1$ אין מה להוכיח. נניח $k\ge2$, ונשתמש באינדוקציה לפי $k$.

\underline{בסיס האינדוקציה} - $k=2$, כלומר

$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} A_1 & 0\\ 0 & A_2 \end{matrix} \right )$

נניח $A_1\in M_r\left(\mathbb{F}\right)$ ו-$A_2\in M_s\left(\mathbb{F}\right)$. נסמן את איברי $B$ כך: $B=\left \{v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s \right \}$, ונגדיר $B_1=\left \{v_1,\dots,v_r \right \}$, $B_2=\left \{u_1,\dots,u_s \right \}$, $U_1=span\left(B_1\right)$ ו-$U_2=span\left(B_2\right)$. אזי:

$\left(\begin{matrix} \left[T\left(v_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(v_r \right ) \right ]_B & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(u_s \right ) \right ]_B \end{matrix} \right )=\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} A_1 & 0\\ 0 & A_2 \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} A_1e_1 & \cdots & A_1e_r & & 0 & \\

& 0 &  & A_2e_1 & \cdots & A_2e_s

\end{matrix} \right )$

אם כן, לכל $i=1,\dots,r$, $\left[T\left(v_i\right)\right]_B=A_1e_i$, וכן לכל $j=1,\dots,s$, $\left[T\left(u_j\right)\right]_B=A_2e_j$.

כלומר, לכל $v_i\in B_1$, מתקיים $T\left(v_i\right)\in span\left(B_1\right)=U_1$, ולכן לכל $v\in U_1$ מתקיים $T\left(v\right)\in U_1$, זאת אומרת ש-$U_1$ תת-מרחב אינווריאנטי. באופן דומה, גם $U_2$ אינווריאנטי, כדרוש.

\underline{צעד האינדוקציה} - נתונה המטריצה המייצגת

$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} A_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_k \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \\ & \tilde{A} & & 0\\ \\ &0 && A_k \end{matrix} \right )$

מהמקרה $k=2$ שהוכחנו, נקבל חלוקה של $B$ לאיחוד זר $B=\tilde{B}\cup B_k$, כך ש-$\tilde{U}=span\tilde{B}$ ו-$U_k=span\left(B_k \right )$ הם תתי-מרחבים אינווריאנטיים. לפי הנחת האינדוקציה, נחלק את $\tilde{B}$ לאיחוד זר, $\tilde{B}=B_1\cup\dots\cup B_{k-1}$, שעבורו $U_i=span\left(B_i\right)$ תתי-מרחבים אינווריאנטיים לכל $i=1,\dots,k-1$, כדרוש.

\end{enumerate}

מהמשפט הזה נגיע למספר מסקנות חשובות.

\textbf{מסקנה:}

אם $B$ בסיס של $V$ כך ש-$\left[T\right]_B$ אלכסונית בלוקים,

$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} A_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_k \end{matrix} \right )$

אזי לכל $\sigma\in S_k$ קיים בסיס $B'$ של $V$ שעבורו

$\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix} A_{\sigma\left (1 \right )} & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_{\sigma\left ( k \right )} \end{matrix} \right )$

\textit{הוכחה:}

מהחלק השני של הלמה הקודמת, קיימת חלוקה של $B$ ל-$k$ חלקים זרים, כך שהמטריצה המייצגת תהיה

$\left(\begin{matrix} A_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_k \end{matrix} \right )$

נסדר את החלקים $B'=B_{\sigma\left(1 \right )}\cup\dots\cup B_{\sigma\left(k \right )}$. לפי החלק הראשון של הלמה, נקבל

$\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix} A_{\sigma\left (1 \right )} & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_{\sigma\left ( k \right )} \end{matrix} \right )$

\textbf{מסקנה:}

שתי מטריצות אלכסוניות בעלות אותן בלוקים בסדר שונה דומות זו לזו; לכל $\sigma\in S_k$,

$\left(\begin{matrix} A_{\sigma\left (1 \right )} & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_{\sigma\left ( k \right )} \end{matrix} \right )\sim\left(\begin{matrix} A_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & A_k \end{matrix} \right )$

\textit{הוכחה:}

שתי המטריצות הן מייצגות של אותו אופרטור $T$ יחסית לבסיסים שונים.

נזכיר כי ברצוננו למצוא לכל אופרטור בסיס, שבו המטריצה המייצגת תהיה מצורה מסוימת )שקול: לכל מטריצה למצוא מטריצה דומה מהצורה הזו(. כעת ברור שאם נצליח לפרק את המרחב שלנו לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, אזי נוכל להגיע לצורה אלכסונית בלוקים. בחלק הבא, לאחר הלמה שנוכיח מיד, נמצא את המרחבים האלו, ולאחר מכן נראה מהם הבלוקים.