קוד:ערך עצמי אפס

<textbf>משפט:</textbf> $\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה.

<textit>הוכחה:<\textit>

$\Leftarrow$ נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. נסמן $v=(\begin{matrix} v_{1} & \\ \vdots & \\ v_{n} & \\ \end{matrix} )$, וכן $A=(\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & \\ \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} & \\ \end{matrix} )$. נוכל להגיד שלפיכך $\bigg\{ \begin{gathered} a_{11}v_{1}+\ldots +a_{1n}v_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n1}v_{1}+\ldots +a_{nn}v_{n}=0 \\ \end{gathered} $ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה.

$\Rightarrow$ נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$.