קוד:ערך עצמי אפס

<textbf>משפט:</textbf>

$\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה.

<textit>הוכחה:</textit>

$\Leftarrow$ נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. נסמן $v=\left ( \begin{matrix} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right )$, וכן $A=\left ( \begin{matrix} a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \\ \vdots a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right )$. נוכל להגיד שלפיכך $\left \{ \begin{matrix} a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ \vdots\\ a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0 \end{matrix} \right. $ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה.

$\Rightarrow$ נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$.