קוד:ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטורים

\textbf{הגדרה:}

\underline{אופרטור לינארי} $T:V\rightarrow V$ הוא העתקה לינארית מ-$V$ לעצמו.

המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ.

\subsection{הגדרת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים והקשר למטריצות המייצגות}

\textbf{הגדרה:}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש-$ \lambda \in\mathbb{F}$ הוא \underline{ערך עצמי} )ע"ע( של האופרטור $T$ אם קיים $0\ne v\in V$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v $. הוקטור $v$ נקרא \underline{וקטור עצמי} )ו"ע( של $T$ הקשור ל-$\lambda $.

\textbf{משפט:}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} $ בסיס של $V$ ותהי $A$ המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$ . אזי אם $\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של $T$, הוא גם ערך עצמי של $A$ .

\textit{הוכחה:}

נסמן $\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )$.

$A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$, ולכן $Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B$ . $\lambda$ ע"ע של $T$, אזי קיים $v\neq 0$ כך ש-$Tv=\lambda v$, זאת אומרת $ cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B$, ולכן $\lambda$ ע"ע של $A$.

\subsection{אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים של אופרטור}

\begin{enumerate} \item נבחר בסיס $B$ של $V$.

\item נחשב את המטריצה המייצגת $A$.

\item נרכיב את המשוואה $\det\left(\lambda I-A\right)=0$. זוהי משוואה ממעלה $n$.

\item מחפשים פתרונות $\lambda_1,\dots,\lambda_s$. \end{enumerate}