קוד:קיום ויחידות הפולינום המינימלי
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־19:49, 18 באוגוסט 2014 מאת גיא בלשר (שיחה) (יצירת דף עם התוכן "לכאורה, נראה שאין הכרח שיהיה פולינום מינימלי כזה. עם זאת, המשפט הבא יוכיח לא רק שקיים פולי...")
לכאורה, נראה שאין הכרח שיהיה פולינום מינימלי כזה. עם זאת, המשפט הבא יוכיח לא רק שקיים פולינום מינימלי לכל מטריצה, אלא שהוא גם יחיד.
\textbf{משפט:}
הפולינום המינימלי $m_A$ קיים והוא יחיד.
\textit{הוכחה:}
\underline{קיום} - יש פולינומים מאפסים )למשל, האופייני, לפי קאלי-המילטון(. אם הפולינום המאפס איננו מתוקן, אזי נתקן אותו בעזרת חילוק במקדם הראשי. נבחר את המעלה הנמוכה ביותר, ונקבל פולינום מינימלי.
\underline{יחידות} - נניח $m,\tilde{m}$ שניהם פולינומים מינימליים. לכן, $\deg \left (m \right )=\deg\left (\tilde{m} \right )$. שניהם מתוקנים, לכן אם $m\neq\tilde{m}$, אזי $f=m-\tilde{m}$ פולינום מאפס ממעלה נמוכה יותר, בסתירה. לכן $m=\tilde{m}$, והוכחנו יחידות.