קוד:תכונות של המרחב העצמי המוכלל

נחזור למרחב העצמי המוכלל.

\textbf{למה:}

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$, יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ערך עצמי של $T$.

\begin{enumerate}

\item K_\lambda=\left \{ v\in V\mid \exists k\in\mathbb{N}:\left(T-\lambda I \right )^kv=0 \right \}.

\item $V_\lambda\subseteq K_\lambda$.

\item $K_\lambda$ תת-מרחב אינווריאנטי תחת $T$, ולכן תחת כל אופרטור בצורה $p\left(T\right)$, כש-$p\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום כלשהו.

\end{enumerate}

\textit{הוכחה:}

\begin{enumerate}

\item נסמן K_\lambda'=\left \{ v\in V\mid \exists k\in\mathbb{N}:\left(T-\lambda I \right )^kv=0 \right \}, ונוכיח $K_\lambda=K_\lambda'$.

$\boxed{\subseteq}$

טריוויאלי, אם ניקח $k=n$.

$\boxed{\supseteq}$

יהי $v\in K_\lambda'$. אם $v=0$, הוא נמצא בכל תת-מרחב, ולכן נניח $v\neq 0$. נבחר את ה-$k$ הקטן ביותר שעבורו $\left(T-\lambda I\right)^k\left(v\right)=0$, ונתבונן במסלול $E=\left \{ \left(T-\lambda I \right )^{k-1}\left(v \right ),\dots,\left(T-\lambda I \right )\left(v \right ),v \right \}$ )הוא מסלול, לפי הבחירה של $k$(. $E$ בת"ל, $\dim V=n$, ולכן $k\leq n$. אם כן,

$\left(T-\lambda I\right)^n\left(v \right )=\left(T-\lambda I \right )^{n-k}\left(T-\lambda I\right)^k\left(v \right )=\left(T-\lambda I \right )^{n-k} \left(0 \right )=0$

\item לפי הסעיף הקודם,

$K_\lambda=\left \{ v\in V\mid \exists k\in\mathbb{N}:\left(T-\lambda I \right )^kv=0 \right \} \\ V_\lambda=\left\{v\in V\mid T\left(v \right ) =\lambda v\right \}=\left \{v\in V\mid \left(T-\lambda I \right )\left(v \right )=0 \right \}\subseteq K_\lambda$

\item קודם נוכיח ש-$K_\lambda$ אינווריאנטי תחת $T$. נשתמש בעובדה הבאה: האופרטורים $T$ ו-$T-\lambda I$ מתחלפים, כלומר $\left(T-\lambda I \right )T=T^2-\lambda T=T\left(T-\lambda I \right )$; לכן, גם כל חזקה של האחד מתחלפת עם חזקה של השני.

יהי $v\in K_\lambda$, ונוכיח $T\left(v\right)\in K_\lambda$.

$\left(T-\lambda I \right )^nT\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=T\left(0\right )=0$

עובדה כללית: אם $W\subseteq V$ תת-מרחב אינווריאנטי תחת $T$, ואם $p\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום כלשהו, אזי $W$ אינווריאנטי גם תחת $p\left(T\right)$. נוכיח - יהי $v\in W$, ונסמן $p\left(T\right)=\alpha_0I+\alpha_1T+\cdots+\alpha_sT^s$. אזי

$\left (p\left(T\right) \right )\left(v \right ) =\underbrace{\alpha_0\underbrace{I\left ( v \right )}_{\in W}}_{\in W} +\underbrace{\alpha_1\underbrace{T\left ( v \right )}_{\in W}}_{\in W} +\cdots +\underbrace{\alpha_s\underbrace{T^s\left ( v \right )}_{\in W}}_{\in W}$

כדרוש.

\end{enumerate}