משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11
את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־17.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
התכנסות במ"ש של טורים (המשך)
דוגמה
נבנה פונקציה S רציפה ב- שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר
בקטע
עם המשך מחזורי בכל
:
לכן וכן אם
אז
, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר
ואז
וכן אם
אז
. נמשיך להגדיר
ולכן
ואם
אז
. לבסוף, נגדיר
אזי S רציפה ב-
(כי כל
רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס:
ו-
מתכנס).
הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: שמתבדר (כי
), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם
במ"ש ואם
לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת
שהגדרנו קודם:
ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל
שמתבדר בין
ל-
, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות מקיימות את התכונה
הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של
(למשל הקטע
, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע
וכו'). אם
מקיימות זאת אזי
. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות
מקיימות תכונה
אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של
. במקרה כזה
. נשים לב שאם הנקודות
מקיימות
אז הן מקיימות
, ובהכללה
. כעת יהי
נתון ונוכיח כי
לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה
כלשהי כך ש-
לא קיים הגבול
. נבחר
אם
מקיימות
, ו-
אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות
מקיימות
כי אם
לא מקיימות
אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של
. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-
הוא
ולכן
כן מקיימות
. כמו כן ברור כי
. מתקיים
. כיוון ש-
מקיימות
מתקיימת לכל
הטענה
. עבור
המחזור של
הוא
. אם
אז
הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן
, ומכאן ש-
. לפיכך לכל m נקבל
. כאשר
הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x.
טורי חזקות
הגדרה: טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה עבור
לכל n. כאשר
נקבל טור הנדסי.
דוגמה: הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב
נקבל
, ולכן הטור מתכנס אם"ם
, וסכומו הוא
.
משפט 1
יהי טור חזקות כלשהו ונגדיר
(R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:
- אם x מקיים
אז הטור מתכנס בהחלט.
- אם x מקיים
אז הטור מתבדר.
- אם
אז הטור מתכנס במ"ש בקטע
.
הוכחה
- יהי x כך ש-
ונבחר P כך ש-
. מכאן נובע ש-
ולפיכך קיים
כך ש-
. מכאן נובע כי
ולכן
. מכאן שהטור
הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה
מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x.
- נתון
ונרשום
. לפי הנתון
ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-
. עבור אותם n-ים מתקיים
ולכן
. לפיכך
מתבדר (כי האיבר הכללי
לא שואף ל-0).
- נבחר P כך ש-
. כמו בסעיף 1, קיים
כך שלכל
מתקיים
ולכן אם
אז
. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור
וכיוון שסכום החסמים
הוא טור הנדסי מתכנס (כי
) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-
מתכנס במ"ש ב-
.
הערה: באופן כללי, עבור ,
. כאשר
מתקיים
, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל
, ובמ"ש על כל תת קטע סופי של
. כאשר
מתקיים
ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר
.
הערה: לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים . מקרה זה יש לבדוק בנפרד.