88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8
תוכן עניינים
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה
. ה"ל היא פונקציה
אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים
)
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל
. תהא
אזי העתקה
המוגדרת
היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל
. אזי העתקה
המגודרת
היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל
. אזי העתקה
המגודרת
היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת
היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת
היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל
מימד
ויהי
בסיס אזי הפונקציה
המוגדרת
היא ה"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו .
אזי העתקה
המוגדרת
אינה ה"ל.
כי למשל
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): f(\right(3\begin{pmatrix} 1 // 1 \end{pmatrix} \left) = f(\right(\begin{pmatrix} 3 // 3 \end{pmatrix} \left) = \begin{pmatrix} 9 // 3 \end{pmatrix}
שלא שווה ל
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): 3 f(\right(\begin{pmatrix} 1 // 1 \end{pmatrix} \left) = 3\begin{pmatrix} 1 // 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 // 3 \end{pmatrix}
תרגיל
יהיו שתי ה"ל.
בסיס ל
. נניח
לכל
הוכח: . כלומר לכל
מתקיים
הוכחה: יהי אזי
כי
בסיס ובפרט פורשת.
ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל
. יהי
בסיס ל
ויהיו
וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש
לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1.
מצא את הה"ל
המקימת
. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן
שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x