אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר
.
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר
. במילים אחרות
. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה
כאשר
. כלומר,
. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים
.
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל:
, וכן
.
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י:
. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים:
.
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש
ולכן
. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל:
. נעביר אגפים לקבל
.
בדומה, נסמן . נשים לב ש
ולכן
. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל:
. נעביר אגפים לקבל
.
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות
. לדוג':
.
תכונות הצמוד
1. כפליות: .
2. חיבוריות: .
3. אותה נורמה: .
תרגיל
הוכיחו: .
פתרון: נסמן ונחשב:
.