משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11
תוכן עניינים
אינטגרל לפי רימן
הגדרה: יהי [a,b] קטע סגור. נסמן את כ-
ונקרא ל-T חלוקה. נסמן
כאשר
.
הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת ב-
ותהי T חלוקה של הקטע עבור כל תת קטע
ונבחר נקודה
ונבנה סכום מהצורה
סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי בחלוקה
ו-
.
הגדרה: פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-
.
הגדרה: תהי
סדרת חלוקות של הקטע
. נאמר כי
נורמלית אם
.
הגדרה: נאמר כי הסכומים 6 של רימן שואפים לגבול L כאשר
ואם לכל
קיימת
כך שלכל חלוקה T עבור
מתקיים
.
דוגמה 1
דוגמה קלאסית היא פונקצית דיריכלה. לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהי נקודה...
קל לראות שגם כל הסכומים ביניהם מתקבלים.
דוגמה 2
קבוע אינטגרביליות של f בקטע [0,1] כאשר .
פתרון
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי נתון. צריך להוכיח כי קיימת
כך שלכל חלוקה T, עבור
מתקיים
. נצייר את הפונקציה:
גרף (1)
נזכיר כי L היא ערך האינטגרל ולכן, במקרה שלנו . נסמן את החלוקה T של [0,1] כ-
.
נבחר
העדנה של T המקיימת
ונבנה את סכום רימן באופן הבא:
תהי
הנקודה הכי קרובה ל-
משמאל ותהי
כנקדה הכי קרובה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \tfarc לא מוכרת): \tfarc23
משמאל. ברור כי. הסכום הוא
![]()
- שוב נקודת תפר בין הפונקציות.
נשים לב כי . נזכיר כי L=1 ולכן נבדוק מהו
:
ולכן
(נשים לב שבמקרה זה יתכן גם שיוויון). לכן נבחר
ונקבל את הדרוש.
דוגמה 2
חשב את הגבול .
פתרון
נסמן . קל לראות שמדובר בקטע [1,2]. לפי חוקי
-ים אפשר לרשום: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \proud לא מוכרת): \lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\proud_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)}=\lim_{n\to\infty} \frac1n \ln \proud_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)
.
ראינו כי
בקטע [1,2].
נסמן את f להיות בקטע
ברור כי
אינטגרבילית ולכן
. מכיוון ש-f אינטגרבילית נבחר
כלומר
הערה: את האינטגרל הנ"ל נלמד לפתון בשיעור הבא.
בנקודה ברור ש-
ולכן אין משמעות שהתעלמנו מהנקודה 1.
נשים לב שבמקרה זה אפשר להוסיף גם את כי היא רציפה.
משפט: אם ו-f ו-g אינטגרביליות אז
.
דוגמה 4
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: .
פתרון
נסמן קל לראות ש-f חיובית בקטע
ולכן
, כלומר אי-שלילי.
נוסיף ש- אינו בקטע ולכן חיובית
דוגמה 5
נוכיח כי .
פתרון
נתון כי ולכן
. מכאן ש-
חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל)
....
דרך 2: ולכן
חיובית.
לכן
...
דוגמה 6
הוכח כי
פתרון
ננסה למצוא קבועים המקיימים (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור).
נמצא מינימום ומקסימום. נסמן
ואז
ולכן נקודה החשודה כקיצון היא
.
ולכן היא מינימום. לפי וירשרס נחפש בקצוות.
(מקסימום) וכן
. לכן
. לפיכך
ונקבל בדיוק את מה שרשום.