מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד
הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד
בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של
. לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי
. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור
. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות
ונגיע לאי השוויון:
. מכאן נעביר אגפים ונקבל
והפתרון שלו הוא
או
. זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור
. לכן
.
אם : נקבל
וזה לא יתכן.
: נקבל
וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא
וזה מתקיים לכל
2
הוכח:
נסמן . נחשב את אגף שמאל:
נחשב את אגף ימין:
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.
אגף ימין:
שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון
3
מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:
לכן הצורה הפולארית היא
זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא:
ניעזר בסעיף א' ונקבל שהביטוי שווה ל:. נפתח סוגריים ונקבל:
. סה"כ הצורה הקרטזית היא
הצורה הפולארית:
לכן הצורה הפולארית היא
נמצא את הצורה הקרטזית:
לכן המספר שווה לi
לכן המספר שווה ל2