משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמא 1
חשבו
פתרון
נרשום את האינטגרל כ-. מתבקשת ההצבה
ולכן נקבל
ומכאן קל למצוא את הפתרון.
פתרון
נגדיר. נקבל
.
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמא 2
פתרון
נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1)
. נקבלחייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracx לא מוכרת): \tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}
נציבאזי
.
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבהאזי
נותר לפתורעבור
. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.
פתרון
ראשית נציב. נציב
נקבל:
את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה
ואז
.
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן
וגם
.
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
פתרון
פתרון
נציב
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורהלפיכך
.
ננסה להציב
.
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב
. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו
נציב
או
.
דוגמה 4
נחשב
פתרון
הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו![\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}](/images/math/0/b/a/0ba814d4a2b8435dcb3ef1fcf9799e69.png)
![\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}](/images/math/5/e/e/5eedd72e053f6d15536beba0317db79c.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)