אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

  • f,g פונקציות.
  • a_n,b_n הם מקדמי פורייה בטור פורייה של f, ו־c_n מקדמי פורייה בטור פורייה המרוכב.
  • n!! היא העצרת הכפולה של n, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם n אי־זוגי) מ־1 עד n, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: (2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1) ו־(2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n!.
  • \{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} אורתונורמלית ו־\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} אורתוגונלית.

  • אי־שיוויון הולדר: אם x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q כאשר \frac1p+\frac1q=1 (כלומר, \ell_p,\ell_q צמודים) אזי \sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q.
  • אם \mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k אזי \forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle.
  • ההיטל של \mathbf u על \mathbf v הוא \mbox{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v.
  • אם S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־\mathbf u ב־\mbox{span}(S) הוא \tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u), כלומר \min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|.
  • אי־שיוויון בסל: \|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2.
  • תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\} נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי \{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} ובסיס אורתונורמלי \{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} באופן הבא:
    \begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}
  • מרחב הפולינומים ממעלה n או פחות מסומן P_n[x].
  • פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx על מרחב הפולינומים P_n[x], הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס \{1,x,x^2,\dots,x^n\} הם
    \begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}
    ניתן לחשב אותם גם ע״י P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n או P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}, והם מקיימים \|P_n\|^2=\frac2{2n+1}.
  • פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx על מרחב הפולינומים P_n[x], הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס \{1,x,x^2,\dots,x^n\} הם
    \begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}
    ניתן לחשב אותם גם ע״י T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12} (נוסחת רודריגז) או T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x), והם מקיימים \|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}.
  • פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין יוצרות מרחב מכפלה פנימית E עם \langle f,g\rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\mathrm dx (במקרה הממשי) או \langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx (במקרה המרוכב).
  • מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\} במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור \mathbf u את התנאי \lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0.
  • המערכת \left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(nx)\}_{n=1}^\infty אורתונורמלית סגורה ב־E.
  • טור פורייה של f הוא \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big) כאשר \forall n:\ a_n:=\langle f,\cos(nx)\rangle ו־b_n:=\langle f,\sin(nx)\rangle.
  • אם f זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
  • מתקיים \frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2
  • המערכת \left\{\mathrm e^{\mathrm inx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty אורתונורמלית סגורה ב־E.
  • טור פורייה המרוכב של f הוא \sum_{n=-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm inx} כאשר \forall n:\ c_n:=\langle f,\mathrm e^{\mathrm inx}\rangle.
  • מתקיים \forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\sgn(n)\mathrm ib_{|n|}}2 וכן a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n}).
  • אם f\in E ו־S_N הסכום החלקי ה־N־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של f, אזי \lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0.
  • E' הוא מרחב כל הפוקנציות ב־E שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע.
  • משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי f\in E' אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור 2\pi. בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־f.
  • אם x_0 נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2.
  • למת רימן־לבג: אם f אינטגרבילית בהחלט אזי \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0 כאשר n\in\mathbb R (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
  • גרעין דיריכלה: \frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־(-\pi,\pi) שווה ל־\pi.
  • אם f רציפה ב־[-\pi,\pi] ו־f(-\pi)=f(\pi) אז טור פורייה של f יתכנס אליה בכל הקטע.
  • אם בנוסף f\in E' אזי טור פורייה של f מתכנס אליה במ״ש על הקטע.