אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

  • f,g פונקציות.
  • בהנתן a,b נסמן q=\frac2{b-a} ו־q_n=\pi nq.
  • a_n,b_n הם מקדמי פורייה של \cos(q_nx),\sin(q_nx) (בהתאמה) בטור פורייה של f, ו־c_n מקדמי פורייה של \mathrm e^{\mathrm iq_nx} בטור פורייה המרוכב.
  • n!! היא העצרת הכפולה של n, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם n אי־זוגי) מ־1 עד n, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: (2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1) ו־(2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n!.
  • \{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} אורתונורמלית ו־\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} אורתוגונלית.

תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית

  • אי־שוויון הולדר: אם x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q כאשר \frac1p+\frac1q=1 (כלומר, \ell_p,\ell_q צמודים) אזי \sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q.
  • אם \mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k אזי \forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle.
  • ההיטל של \mathbf u על \mathbf v הוא \mbox{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v.
  • אם S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־\mathbf u ב־\mbox{span}(S) הוא \tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u), כלומר \min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|.
  • אי־שוויון בסל: \|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2.
  • תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\} נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי \{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} ובסיס אורתונורמלי \{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} באופן הבא:
    \begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}
  • מרחב הפולינומים ממעלה n או פחות מסומן P_n[x].
  • פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx על מרחב הפולינומים P_n[x], הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס \{1,x,x^2,\dots,x^n\} הם
    \begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}
    ניתן לחשב אותם גם ע״י P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n או P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}, והם מקיימים \|P_n\|^2=\frac2{2n+1}.
  • פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx על מרחב הפולינומים P_n[x], הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס \{1,x,x^2,\dots,x^n\} הם
    \begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}
    ניתן לחשב אותם גם ע״י T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12} (נוסחת רודריגז) או T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x), והם מקיימים \|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}.

טורי פורייה

  • פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע [a,b] יוצרות מרחב מכפלה פנימית E[a,b] עם \langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא \tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle.
  • E הוא סימון מקוצר ל־E[-\pi,\pi].
  • מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\} במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור \mathbf u את התנאי \lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0.
  • המערכות \left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(q_nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(q_nx)\}_{n=1}^\infty ו־\left\{\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty אורתונורמליות סגורות ב־E[a,b] לפי המכפלות הפנימיות \langle\cdot,\cdot\rangle ו־\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle בהתאמה.
  • טור פורייה של f ב־[a,b] הוא \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(q_nx)+b_n\sin(q_nx)\Big) כאשר \forall n\in\mathbb N\cup\{0\}:\ a_n:=\langle f,\cos(q_nx)\rangle\ \and\ \forall n\in\mathbb N:\ b_n:=\langle f,\sin(q_nx)\rangle.
  • אם f זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
  • מתקיים \frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2.
  • טור פורייה המרוכב של f ב־[a,b] הוא \sum_{n\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx} כאשר \forall n\in\mathbb Z:\ c_n:=\tfrac12\left\langle f,\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\rangle=\hat f(q_n).
  • מתקיים \forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2 וכן a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n}).
  • אם f\in E[a,b] ו־S_N הסכום החלקי ה־N־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של f, אזי \lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0.
  • E'[a,b] הוא מרחב כל הפוקנציות ב־E[a,b] שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־[a,b] למעט, אולי, בקצות הקטע.
  • משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי f\in E'(\mathbb R) אינטגרבילית בהחלט ב־[a,b] ובעלת מחזור b-a. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־[a,b] מתכנס ל־f.
  • אם f\in E'[c,d] אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־\mathbb R.
  • אם x_0 נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)\over2.
  • תופעת גיבס: נניח שבנוסף f'\in E[a,b] ו־x_0 נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של f כך ש־a<x_0<b. כמו כן, S_N הסכום החלקי ה־N־י של טור פורייה של f. אזי קיימת סדרת נקודות \{x_n\}_{n=1}^\infty המקיימת x_n\to x_0\ \and\ \forall n:\ x_n>x_0 וכן \lim_{N\to\infty}\frac{S_N(x_N)-f(x_N)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)-\lim_{x\to x_0^-}f(x)}\approx0.0895\dots, וזו השגיאה המקסימלית.
  • למת רימן־לבג: אם f אינטגרבילית בהחלט אזי \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0 כאשר n\in\mathbb R (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
  • גרעין דיריכלה: \frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־(-\pi,\pi) שווה ל־\pi.
  • אם f\in E'[a,b] רציפה ב־[a,b] ו־f(a)=f(b) אז טור פורייה של f יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
  • שוויון פרסבל: אם f\in E[a,b] אזי \|f\|^2=q\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(|a_n|^2+|b_n|^2\Big) ו־\frac{\|f\|^2}2=\frac q2\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\sum_{n\to-\infty}^\infty |c_n|^2.
  • שוויון פרסבל המוכלל: אם f,g\in E[a,b] אזי \langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=\frac{a_0\overline{c_0}}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\overline{c_n}+b_n\overline{d_n}\Big) כאשר g(x)\sim\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(c_n\cos(q_nx)+d_n\sin(q_nx)\Big).
  • אם f רציפה ב־[a,b], f(a)=f(b) ו־f'\in E[a,b] אזי טור פורייה של f גזיר איבר־איבר ומתקיים f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(q_n b_n\cos(q_nx)-q_n a_n\sin(q_nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm iq_nc_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}.
  • אם f\in E[a,b] אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל x\in[a,b] ולכל m\in[a,b) מתקיים
    \begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}(\sin(q_nx)-\sin(q_nm))-\frac{b_n}{q_n}(\cos(q_nx)-\cos(q_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm iq_nx}-\mathrm e^{\mathrm iq_nm}\right)\end{align}
    והטורים מתכנסים במ״ש.
  • אם F קדומה ל־f ב־[a,b] אזי F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}\sin(q_nx)-\frac{b_n}{q_n}\cos(q_nx)\right)+\frac q2\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx.

התמרות פורייה

  • G(\mathbb R) הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־\mathbb R ל־\mathbb C שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־\mathbb R.
  • התמרת פורייה: \hat f=\mathcal F[f]:\mathbb R\to\mathbb C נקראת "התמרת פורייה של f" ומוגדרת ע״י \hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx.
  • אם f\in G(\mathbb R) אזי \hat f מוגדרת ורציפה בכל נקודה \omega\in\mathbb R. בנוסף, \lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0.
  • לכל f,g\in G(\mathbb R) ולכל a,b\in\mathbb C מתקיים:
  • \mathcal F[af+bg]=a\mathcal F[f]+b\mathcal F[g]
  • אם f ממשית אזי \hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}.
  • מקרה פרטי: אם f ממשית וזוגית אזי \hat f(\omega)=\hat f(-\omega) והיא פונקציה ממשית.
  • מקרה פרטי: אם f ממשית ואי־זוגית אזי \hat f(-\omega)=-\hat f(\omega) והיא פונקציה מדומה.
  • אם f מדומה אזי \hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}.
  • אם a\ne0 אזי \mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\left(\frac\omega a\right).
  • אם a\in\mathbb R אזי \mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a).
  • אם a\in\mathbb R אזי \mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2.
  • אם a\in\mathbb R אזי \mathcal F[\sin(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}{2\mathrm i}.
  • אם f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R) ו־\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 אזי \mathcal F\!\left[f^{(n)}\right]\!(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F[f](\omega).
  • אם \int\limits_{-\infty}^\infty x|f(x)|\mathrm dx מתכנס אזי \hat f גזירה ברציפות ומתקיים \mathcal F\!\left[x^n f(x)\right]\!(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F[f](\omega).
  • התמרת פורייה ההפוכה: אם f\in G(\mathbb R) אזי בכל נקודה x_0 שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים \frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega.
  • מקרה פרטי: אם f'\in E(\mathbb R) אזי f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega.
  • עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי f המקיימת f'\in E(\mathbb R), ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה \hat f שלה. נוכל להציב x:=-\omega,\ \omega:=x ב־\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x), לחלק את שני האגפים ב־2\pi ולקבל \hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi}.
  • אם f,g\in G(\mathbb R) ו־\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx ו־\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega מתכנסים אזי \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega.
  • מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם f\in G(\mathbb R) ו־\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx ו־\int\limits_{\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega מתכנסים אזי \int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega.
  • קונבולוציה: יהיו f,g:\mathbb R\to\mathbb R. אזי \forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt.
  • f*g=g*f
  • (f*g)*h=f*(g*h)
  • f*(g+h)=f*g+f*h
  • אם f,g אינטגרביליות בהחלט אז f*g מוגדרת עבורן בכל \mathbb R וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
  • משפט הקונבולוציה: \forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F[f*g]=2\pi\mathcal F[f]\mathcal F[g].
  • שימוש חשוב: נניח שידועות f,g,\hat f,\hat g ונרצה למצוא h כך ש־\hat h=\hat f\cdot\hat g. אזי h=\frac1{2\pi}f*g.

התמרות פורייה שימושיות

  • \mathcal F\!\left[\mathrm e^{-|x|}\right]\!(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}
  • \mathcal F\!\left[\mathrm e^{-x^2}\right]\!(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi} (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: \hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)).
  • עבור a\ge0: \mathcal F[1_{[-a,a]}](\omega)=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega} (כאשר 1_A היא הפונקציה המציינת של קבוצה A, ומוגדרת ע״י 1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}).

התמרות לפלס

  • חסימות מעריכית: נאמר ש־f חסומה מעריכית אם קיימים M>0 (חסם מעריכי) ו־\alpha (סדר מעריכי) שעבורם \forall t:\ |f(t)|\le M\mathrm e^{\alpha t}.
  • \Lambda(\mathbb R) הוא המרחב הלינארי של פונקציות f:\mathbb R\to\mathbb C חסומות מעריכית כך ש־f\in E[0,\infty) והן אינטגרביליות בהחלט ב־[0,R] לכל 0<R<\infty.
  • התמרת לפלס: תהי f\in E[0,\infty) המקבלת ערכים ב־\mathbb C. אזי \mathcal L[f]:\mathbb R\to\mathbb C נקראת "התמרת לפלס של f" ומוגדרת ע״י \mathcal L[f](s)=\int\limits_0^\infty f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt.
  • אם f\in E[0,\infty) וחסומה מעריכית אזי \lim_{s\to\infty}\mathcal L[f](s)=0.
  • אם f\in\Lambda(\mathbb R) עם סדר מעריכי \alpha אז קיימת לה התמרת לפלס ב־(\alpha,\infty).
  • \forall a,b\in\mathbb C:\ \mathcal L[af+bg]=a\mathcal L[f]+b\mathcal L[g]
  • \mathcal L\!\left[t^n f(t)\right]\!(s)=(-1)^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm ds^n}\mathcal L[f](s)
  • משפט התמורה של הנגזרת: תהי f עם חסם מעריכי \alpha וכך ש־f^{(n)}\in\Lambda(\mathbb R). אזי התמרת לפלס של f^{(n)} מוגדרת ב־(\alpha,\infty) ומתקיים \mathcal L\!\left[f^{(n)}\right]\!(s)=s^n\mathcal L[f](s)-\sum_{k=0}^{n-1} s^{n-k}f^{(k)}(0).
  • קונבולוציה: יהיו f,g\in\Lambda(\mathbb R). אזי \forall t\in[0,\infty):\ (f*g)(t)=\int\limits_0^t f(t-x)g(x)\mathrm dx.
  • משפט הקונבולוציה: \forall f,g\in\Lambda(\mathbb R):\ \mathcal L[f*g]=\mathcal L[f]\mathcal L[g]. אם בנוסף f,g עם סדר מעריכי אז \mathcal L[f*g](s) מוגדר לכל s>\alpha.
  • תהא f\in\Lambda(\mathbb R) ונתונה F(t)=\int\limits_0^t f(x)\mathrm dx. ממשפט הקונבולוציה עם g(t)\equiv1 נקבל \mathcal L[F](s)=\frac{\mathcal L[f](s)}s.
  • פונקציית הביסייד (Heaviside) היא H_c(t)=\begin{cases}0,&0\le t\le c\\1,&t\ge c\end{cases}.
  • \mathcal L[H_c](s)=\frac{\mathrm e^{-cs}}s,\quad s>0
  • \mathcal L[H_c(t)f(t-c)](s)=\mathrm e^{-cs}\mathcal L[f](s)

התמרות לפלס שימושיות

בהתמרות הבאות, a הוא מספר ממשי כרצוננו.

  • \mathcal L\!\left[\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{s-a},\quad s>a
  • \mathcal L\!\left[t\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{(s-a)^2},\quad s>a
  • \mathcal L[\sin(at)](s)=\frac a{s^2+a^2},\quad s>0
  • \mathcal L[\cos(at)](s)=\frac s{s^2+a^2},\quad s>0
  • \mathcal L[H_c](s)=\frac{\mathrm e^{-cs}}s,\quad s>0

מד״ח

  • מעבר חום: נתונה המד״ח \frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (k קבוע) עם תנאי ההתחלה \forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x) ותנאי השפה \forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t).
  • שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון u(x,t) כמכפלה X(x)\cdot T(t). אזי \frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda כאשר \lambda מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: \begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2} עבור n\in\mathbb N\cup\{0\} ולכן, עבור n נתון, X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right) פתרון לכל a_n,b_n. לגבי המד״ר השנייה, T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right) הוא פתרון עבור n נתון. הפתרון הכללי של u הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right), כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־a_n,b_n מקדמי טור פורייה של f ב־[-L,L].
  • שימוש בהתמרת פורייה: נסמן \hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx (כלומר, זו התמרת פורייה של u לפי x). לפי המד״ח \frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t). פתרונה של המד״ר הזו הוא \hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}, והצבה של t=0 תתן A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega). עתה נחפש פונקציה g כך שהתמרת פורייה שלה לפי x תהא \hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}. לפי ההתמרה של \mathrm e^{-x^2} וכמה מתכונות ההתמרה נקבל g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right) ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds.
  • משוואות גלים: נתונה המד״ח \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (k\ne0 קבוע) עם תנאי ההתחלה u(x,0)=\varphi(x) ו־\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x) ותנאי שפה u(0,t)=u(L,t)=0. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה X(x)\cdot T(t) (שיטת הפרדת משתנים) ולכן \frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda עבור \lambda מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: \begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right) כאשר a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx.
  • נתונה מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את \mathcal L[y] (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.