אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות C_1(A),C_2(A),C_3(A)

שמקיימות

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_1(A) = \begin{bmatrix} 2 \\  4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_2(A) = \begin{bmatrix} 2 \\  4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_3(A) = \begin{bmatrix} 3 \\  6 \end{bmatrix}

כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.

אם נפתור את המשוואה הראשונה

\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & \mid & 4 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-2R_1}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}

נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש 7 פתרונות.

אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש

7^3 פתרונות.


שאלה 2

A היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא I.

אם נסמן ב E_1, \ldots ,E_5 את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם

E_5E_4E_3E_2E_1A=I

ולכן A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I

כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על I, נגיע ל A.

הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:

R_1 \leftrightarrow R_5

R_1 = R_1+2R_2

R_1 \leftrightarrow R_3

R_1 = R_1 -R_2

R_1 = \frac{1}{2} R_1

ולכן קל לחשב ש

A=\begin{bmatrix}

 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\

 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\

 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}


היות ו

A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I

נקבל ש

A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I

כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על I כדי להגיע ל A^{-1}

לכן קל לחשב ש

A^{-1}=\begin{bmatrix}

 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

 0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\

\end{bmatrix}


היות ו A^{-1}=E_5E_4E_3E_2E_1I נקבל ש

(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I

כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את A^{-1} הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:

R_1 \leftrightarrow R_5

R_1 = R_1+2R_2

R_1 \leftrightarrow R_3

R_1 = R_1 -R_2

R_1 = \frac{1}{2} R_1

(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את A^{-1} לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)


שאלה 3

סעיף א

הוכחה: יהי \alpha_1 (v_1+v_2) + \alpha_2(v_2+v_3) +\alpha_3 (v_1+v_3) = 0 צירוף לינארי מתאפס כלשהוא של הוקטורים שבשאלה.

צריך להוכיח ש \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.

קל לראות שהצירוף הלינארי שווה ל

(\alpha_1+\alpha_3) v_1 +(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3  = 0

היות ו v_1,v_2,v_3 בת"ל. נקבל ש

\alpha_1+\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3=0

זה נותן לנו מערכת משוואות פשוטה.

קל להסיק ממנה ש

\alpha_1=-\alpha_2,\quad \alpha_1=-\alpha_3

אבל בגלל ש \alpha_2+\alpha_3=0

נקבל ש -2\alpha_1=0

בגלל שהמאפיין שונה מ 2 אפשר לחלק ב 2 ולקבל

-\alpha_1=0 כלומר \alpha_1=0

ומכאן ברור גם \alpha_2=\alpha_3=0.

סעיף ב

לא נכון. נבחר V=\mathbb{R}^2 ו U=span\{(1,0)\} ו W=span\{(0,1)\}

ברור ש (1,0),(0,1)\in U\cup W

אם האיחוד היה מרחב וקטורי הוא היה סגור לחיבור ולכן גם (1,1)\in U\cup W

אבל זה לא נכון. סתירה.


סעיף ג

לא רק שהטענה לא נכונה. אלא שלכל מערכת לא הומוגנית זה לא נכון.

דוגמא נגדית פשוטה היא המערכת x+y=1 מעל \mathbb{R}.

ניקח פתרונות v_1=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}

v_2=\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}

סכומם

v_1+v_2=\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}

הוא לא פתרון.