הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(נורמה ונורמה מושרית)
(פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה)
שורה 4: שורה 4:
  
 
===מכפלה סקלרית===
 
===מכפלה סקלרית===
 +
 +
<math>v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)</math>
 +
 
<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>
 
<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>
  
 
===מכפלה פנימית===
 
===מכפלה פנימית===
 +
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>
 +
 +
מכפלה פנימית היא מכפלה <math>\langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F}</math> המקיימת את ארבע התכונות הבאות:
 +
 +
לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי:
 +
 +
*אדטיביות <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle</math>
 +
*כפל בסקלר <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math>
 +
*הרמיטיות <math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}</math>
 +
*אי שליליות <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math> וכן <math>\langle x,x\rangle =0</math> אם ורק אם <math>x=0</math>
 +
 +
 +
<videoflash>JEfRTZj1sPE</videoflash>
 +
 +
 +
<math>\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+
 +
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle</math>
 +
 +
 +
<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>
  
 
===נורמה ונורמה מושרית===
 
===נורמה ונורמה מושרית===
  
 +
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>
 +
 +
נורמה היא פונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המקיימת את שלושת התכונות הבאות.
 +
 +
לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי:
 +
 +
*אי שליליות <math>||x|\geq 0</math> וכן <math>||x||=0</math> אם ורק אם <math>x=0</math>
 +
*כפל בסקלר <math>||cx|| = |c|\cdot ||x||</math>
 +
*אי שיוויון המשולש <math>||x+y||\leq ||x||+||y||</math>
 +
 +
 +
 +
<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>
  
 
===מכפלה פנימית מושרית===
 
===מכפלה פנימית מושרית===

גרסה מ־08:01, 17 באפריל 2022

סרטונים ותקצירי הרצאות

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)

מכפלה פנימית

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} או \mathbb{F}=\mathbb{C}

מכפלה פנימית היא מכפלה \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל x,y\in V ולכל c\in\mathbb{F} מתקיים כי:

  • אדטיביות \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle
  • כפל בסקלר \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle
  • הרמיטיות \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}
  • אי שליליות \langle x,x\rangle \geq 0 וכן \langle x,x\rangle =0 אם ורק אם x=0



\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle


נורמה ונורמה מושרית

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} או \mathbb{F}=\mathbb{C}

נורמה היא פונקציה ||\cdot||:V\to\mathbb{R} המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל x,y\in V ולכל c\in\mathbb{F} מתקיים כי:

  • אי שליליות ||x|\geq 0 וכן ||x||=0 אם ורק אם x=0
  • כפל בסקלר ||cx|| = |c|\cdot ||x||
  • אי שיוויון המשולש ||x+y||\leq ||x||+||y||


מכפלה פנימית מושרית

  • האם כל נורמה היא נורמה מושרית?
  • האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

  • משפט הפירוק הניצב
  • בא"נ והיטלים
  • אי שיוויון בסל
  • משפט פיתגורס
  • גרם שמידט

פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

פרק 4 - צורת ז'ורדן

פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי

פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה