הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם ללכסון מטריצה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏מציאות הערכים העצמיים של המטריצה)
(←‏מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי)
שורה 10: שורה 10:
 
עד שנגיע למצב
 
עד שנגיע למצב
 
<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.
 
<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.
 +
 +
'''אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה.'''
  
 
<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,
 
<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,

גרסה מ־18:22, 29 בנובמבר 2011

תהי מטריצה A. נרצה לדעת האם היא לכסינה ומהי המטריצה המלכסנת שלה

מציאת פולינום אופייני

p_A(x):=\left|xI-A\right|.

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

\lambda ערך עצמי של A אם ורק אם p_A(\lambda)=0.

לכל שורש \lambda של p_A(x), נוציא מהפולינום גורם (x-\lambda), עד שנגיע למצב p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}.

אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה.

\lambda_1,\dots,\lambda_k הם הערכים העצמיים השונים של A, ו r_1,\dots,r_k הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים

המרחב העצמי של ע"ע x מוגדר להיות:

V_x:=\{v|Av=xv\}


קל להוכיח כי V_x=N(A-xI). במילים, המרחב העצמי של ע"ע הוא אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה A-xI.


מציאת בסיסים למרחבים העצמיים

ידוע מלינארית 1 כי בסיס למרחב האפס מורכב מהפתרונות הפונדומנטליים של המערכת ההומוגנית

בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת

אם סכום מימדי המרחבים העצמיים שווה למימד המרחב כולו (ניתן לגלות לפי מספר האיברים בבסיסים), אזי המטריצה לכסינה והמטריצה המלכסנת P היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים מהבסיסים הנ"ל.

אחרת, המטריצה אינה לכסינה

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגוריתם_ללכסון_מטריצה&oldid=16454