הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם ללכסון מטריצה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים)
שורה 18: שורה 18:
 
הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.
 
הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.
  
−
===מציאת המרחבים העצמיים של הערכים העצמיים===
+
===מציאת בסיסים למרחבים העצמיים===
  
 
לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי
 
לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי
שורה 27: שורה 27:
 
אז '''המטריצה אינה לכסינה''' ולא צריך להמשיך.
 
אז '''המטריצה אינה לכסינה''' ולא צריך להמשיך.
  
−
כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים. אם הצלחנו עבור כולם, מובטח
+
כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים.  
−
שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו.
+
  
−
 
+
*תזכורת למעוניינים: [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מציאת בסיס למרחב האפס]]
−
 
+
−
*מומלץ להיזכר ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מציאת בסיס למרחב האפס]]
+
−
 
+
−
===מציאת בסיסים למרחבים העצמיים===
+
−
ידוע מלינארית 1 כי בסיס למרחב האפס מורכב מהפתרונות הפונדומנטליים של המערכת ההומוגנית
+
  
 
===בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת===
 
===בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת===
−
אם סכום מימדי המרחבים העצמיים שווה למימד המרחב כולו (ניתן לגלות לפי מספר האיברים בבסיסים), אזי המטריצה לכסינה והמטריצה המלכסנת P היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים מהבסיסים הנ"ל.
+
אם הגענו עד שלב זה, מובטח שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת <math>P</math> היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו.
 +
כלומר, המטריצה <math>D:=P^{-1}AP</math> היא מטריצה אלכסונית.  
  
−
אחרת, המטריצה אינה לכסינה
+
בעמודה <math>i</math> של המטריצה <math>D</math> יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה <math>i</math> של <math>P</math>.

גרסה מ־18:30, 29 בנובמבר 2011

תהי מטריצה A. נרצה לדעת האם היא לכסינה ומהי המטריצה המלכסנת שלה

מציאת פולינום אופייני

p_A(x):=\left|xI-A\right|.

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

\lambda ערך עצמי של A אם ורק אם p_A(\lambda)=0.

לכל שורש \lambda של p_A(x), נוציא מהפולינום גורם (x-\lambda), עד שנגיע למצב p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}.

אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה ואפשר לעצור כאן.

\lambda_1,\dots,\lambda_k הם הערכים העצמיים השונים של A, ו r_1,\dots,r_k הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

מציאת בסיסים למרחבים העצמיים

לכל ערך עצמי \lambda של A, מחשבים את המרחב העצמי V_\lambda:=\left\{v : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I), אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה A-\lambda I.

מוצאים בסיס עבור מרחב זה. אם בבסיס יש פחות איברים מהריבוי האלגברי של \lambda, אז המטריצה אינה לכסינה ולא צריך להמשיך.

כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים.

בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת

אם הגענו עד שלב זה, מובטח שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת P היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו. כלומר, המטריצה D:=P^{-1}AP היא מטריצה אלכסונית.

בעמודה i של המטריצה D יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה i של P.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגוריתם_ללכסון_מטריצה&oldid=16458