הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם ללכסון מטריצה"

גרסה אחרונה מ־09:32, 21 באוקטובר 2012

תהי נתונה מטריצה $A$ . נרצה לבדוק האם היא לכסינה, ואם כן - למצוא מטריצה שמלכסנת אותה.

תוכן עניינים

1 מציאת פולינום אופייני
2 מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי
3 מציאת בסיסים למרחבים העצמיים
4 בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת
5 דוגמאות

מציאת פולינום אופייני

$p_A(x):=\left|xI-A\right|$ .

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

$\lambda$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $p_A(\lambda)=0$ .

לכל שורש $\lambda$ של $p_A(x)$ , נוציא מהפולינום גורם $(x-\lambda)$ , עד שנגיע למצב $p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}$ .

אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה ואפשר לעצור כאן.

$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ הם הערכים העצמיים השונים של $A$ , ו $r_1,\dots,r_k$ הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

מציאת בסיסים למרחבים העצמיים

לכל ערך עצמי $\lambda$ של $A$ , מחשבים את המרחב העצמי $V_\lambda:=\left\{v\in \mathbb{F}^n : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I)$ , אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה $A-\lambda I$ .

מוצאים בסיס עבור מרחב זה. אם בבסיס יש פחות איברים מהריבוי האלגברי של $\lambda$ , אז המטריצה אינה לכסינה ולא צריך להמשיך.

כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים.

תזכורת למעוניינים: מציאת בסיס למרחב האפס

בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת

אם הגענו עד שלב זה, מובטח שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת $P$ היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו. כלומר, המטריצה $D:=P^{-1}AP$ היא מטריצה אלכסונית.

בעמודה $i$ של המטריצה $D$ יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה $i$ של $P$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-תהי מטריצה A. נרצה לדעת האם היא לכסינה ומהי המטריצה המלכסנת שלה
+תהי נתונה מטריצה <math>A</math>. נרצה לבדוק האם היא לכסינה, ואם כן - למצוא מטריצה שמלכסנת אותה.
 ===מציאת פולינום אופייני===
-<math>f_A(x):=|xI-A|</math>
+<math>p_A(x):=\left|xI-A\right|</math>.
-===מציאות ערכים עצמיים של המטריצה===
+===מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי===
-x הינו ע"ע של A אם ורק אם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A
+<math>\lambda</math> ערך עצמי של <math>A</math> אם ורק אם <math>p_A(\lambda)=0</math>.
-===מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים===
+לכל שורש <math>\lambda</math> של <math>p_A(x)</math>, נוציא מהפולינום גורם <math>(x-\lambda)</math>,
+עד שנגיע למצב
+<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.
-המרחב העצמי של ע"ע x מוגדר להיות:
+'''אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה''' ואפשר לעצור כאן.
-::<math>V_x:=\{v|Av=xv\}</math>
+<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,
+ו
+<math>r_1,\dots,r_k</math>
+הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.
-קל להוכיח כי <math>V_x=N(A-xI)</math>. במילים, המרחב העצמי של ע"ע הוא אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה A-xI.
+===מציאת בסיסים למרחבים העצמיים===
+לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי
+<math>V_\lambda:=\left\{v\in \mathbb{F}^n : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I)</math>,
+אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה <math>A-\lambda I</math>.
-*מומלץ להיזכר ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מציאת בסיס למרחב האפס]]
+מוצאים בסיס עבור מרחב זה. אם בבסיס יש פחות איברים מהריבוי האלגברי של <math>\lambda</math>,
+אז '''המטריצה אינה לכסינה''' ולא צריך להמשיך.
-===מציאת בסיסים למרחבים העצמיים===
+כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים.
-ידוע מלינארית 1 כי בסיס למרחב האפס מורכב מהפתרונות הפונדומנטליים של המערכת ההומוגנית
+*תזכורת למעוניינים: [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מציאת בסיס למרחב האפס]]
 ===בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת===
-אם סכום מימדי המרחבים העצמיים שווה למימד המרחב כולו (ניתן לגלות לפי מספר האיברים בבסיסים), אזי המטריצה לכסינה והמטריצה המלכסנת P היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים מהבסיסים הנ"ל.
+אם הגענו עד שלב זה, מובטח שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת <math>P</math> היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו.
+כלומר, המטריצה <math>D:=P^{-1}AP</math> היא מטריצה אלכסונית.
+בעמודה <math>i</math> של המטריצה <math>D</math> יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה <math>i</math> של <math>P</math>.
-אחרת, המטריצה אינה לכסינה
+==דוגמאות==

הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם ללכסון מטריצה"

גרסה אחרונה מ־09:32, 21 באוקטובר 2012

תוכן עניינים

מציאת פולינום אופייני

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

מציאת בסיסים למרחבים העצמיים

בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת

דוגמאות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים