שינויים

המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לה לב להפתעה הבאה:

פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>/.

האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לה לב להפתעה הבאה:

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן הנגזרת הזו שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.

בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1(\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.

פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>. ====תרגיל====לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, וידוע שהגוף מתקרר מ100 ל70 במשך 15 דקות. מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-k\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+kT\frac{1}{\sqrt{3}}T=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולכן <math>a(x)=k(\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow A(x)=kx\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=30k\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:<math>T=e^{-kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30ke30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30k30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=30k^210+ce^{-kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.  כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>,ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(15x)=7010+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>, ונקבל עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה:<math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה: <math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.