אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12

הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון $F(-\infty,\infty),C^n(-\infty,\infty)$ ), מכפלה פנימית (כגון $\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\mathrm dx$ ב־ $C[a,b]$ ), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz)‏ ( $|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\cdot\|\mathbf v\|$ ), מרחבי הסדרות $\ell_p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb C^\infty:\ \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\right\}$ עם $\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_i \overline{y_i}$ ואורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים הקשים לזכירה והחדשים:

תוכן עניינים

1 אי־שיוויון הולדר (Holder)
- 1.1 הוכחה
2 קירוב לווקטור
- 2.1 מובן של מציאת קירוב
- 2.2 תרגיל
  - 2.2.1 פתרון

אי־שיוויון הולדר (Holder)

אם $x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q$ כאשר $\frac1p+\frac1q=1$ (כלומר, $\ell_p,\ell_q$ צמודים) אזי $\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q$ .

הוכחה

נעזר באי־שיוויון יונג (Jung):‏ $\forall\alpha,\beta>0:\ \forall p,q>1\ \and\ \frac1p+\frac1q=1:\ \alpha\cdot\beta\le\frac{\alpha^p}p+\frac{\beta^q}q$ . נבחר עבור $n$ כרצוננו $\alpha=\frac{|x_n|}{\|x\|_p},\beta=\frac{|y_n|}{\|y\|_q}$ , ונסכום לכל $n$ : $\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{\|x\|_p}\frac{|y_n|}{\|y\|_q}\le\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{|x_n|^p}{\|x\|_p^p\cdot p}+\frac{|y_n|^q}{\|y\|_q^q\cdot q}\right)=\frac1p+\frac1q=1$ . נכפול ב־ $\|x\|_p\|y\|_q$ ונקבל את הדרוש. $\blacksquare$

קירוב לווקטור

נניח ש־ $V$ מרחב לינארי, $W$ תת־מרחב ו־ $\mathbf u\in V\setminus W$ . נרצה להראות שקיים וקטור יחיד $\tilde\mathbf u\in W$ שהוא קירוב ל־ $\mathbf u$ ב־ $W$ , כלומר שעבורו $\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|$ .

מובן של מציאת קירוב

הקירוב הטוב ביותר ל־ $\mathbf u$ ב־ $W=\mbox{span}(\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\})$ הוא $\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k$ .

טענת עזר

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית, ותהי $S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ קבוצה אורתונורמלית ב־ $V$ . אם $\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k$ אזי $\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle$ .

הוכחה

\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,\mathbf e_k\right\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_k

\blacksquare

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

הוכחה

הגדרה: $c_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle$ נקרא "מקדם פורייה".

צריך להוכיח ש־ $\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|$ . אזי יהי $\mathbf v\in W$ ונסמן $\mathbf v=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k$ . לכן

	$\langle\mathbf u-\mathbf v,\mathbf u-\mathbf v\rangle$	$=$	$\left\Vert\mathbf u-\mathbf v\right\Vert^2$
	$\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle-\left\langle\mathbf u,\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k\right\rangle-\left\langle\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k,\mathbf u\right\rangle+\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle$	$=$
	$\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\Big(\overline{a_k}c_k+a_k\overline{c_k}\Big)+\sum_{k=1}^n\vert a_k\vert^2$	$=$
מתקיים $\begin{array}{l}\|c_k-a_k\|^2-\|c_k\|^2=\\=(c_k-a_k)(\overline{c_k}-\overline{a_k})-\|c_k\|^2=\\=\|a_k\|^2-\overline{a_k}c_k-a_k\overline{c_k}\end{array}$	$\Vert\mathbf u\Vert^2+\sum_{k=1}^n\vert c_k-a_k\vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2$	$=$
המקרה המינימלי הוא כאשר $\forall k:\ a_k=c_k$	$\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2$	$\ge$

מכאן ש־ $\|\mathbf u-\mathbf v\|$ מינימלי כאשר $\mathbf v=\tilde\mathbf u$ . $\blacksquare$ התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל: $\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|c_k|^2$ .

הכללה

בהינתן בסיס אורתוגונלי $S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ של $W$ (שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־ $\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k$ .

הוכחה

S

בסיס ולכן וקטור האפס אינו נמצא בו. לפיכך הקבוצה

\left\{\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|},\dots,\frac{\mathbf b_n}{\|\mathbf b_n\|}\right\}

מוגדרת ואורתונורמלית, ולבסוף

\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k=\sum_{k=1}^n\frac{\overline{\|\mathbf b_k\|}\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle}{\|\mathbf b_k\|^2}\|\mathbf b_k\|\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\sum_{k=1}^n\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\tilde\mathbf u

$\blacksquare$

תרגיל

נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע $[-1,1]$ . נגדיר מ״פ באופן הבא: $\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx$ . מצאו קירוב ל־ $f(x)=x^3$ בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית $S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}=\left\{\frac1\sqrt2,\sqrt\frac32 x\right\}$ .