שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
:* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_n-\sgn(n)\mathrm ib_n}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>.
* <math>E'</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע.
ָָָ* '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'</math> אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור <math>2\pi</math>. בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־<math>f</math>.
:* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2</math>.
* '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
* '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\left(\frac12frac x2\right)}</math>. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־<math>(-\pi,\pi)</math> שווה ל־<math>\pi</math>.
* אם <math>f</math> רציפה בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math> ו־<math>f(-\pi)=f(\pi)</math> אז טור פורייה של <math>f</math> יתכנס אליה בכל הקטע.
:* אם בנוסף <math>f\in E'</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ״ש על הקטע.