הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"

גרסה מ־13:04, 22 בספטמבר 2012

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

$f,g$ פונקציות.
בהנתן $a,b$ נסמן $q=\frac2{b-a}$ ו־ $q_n=\pi nq$ .
$a_n,b_n$ הם מקדמי פורייה של $\cos(q_nx),\sin(q_nx)$ (בהתאמה) בטור פורייה של $f$ , ו־ $c_n$ מקדמי פורייה של $\mathrm e^{\mathrm iq_nx}$ בטור פורייה המרוכב.
$n!!$ היא העצרת הכפולה של $n$ , והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם $n$ אי־זוגי) מ־1 עד $n$ , או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: $(2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1)$ ו־ $(2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n!$ .
$\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ אורתונורמלית ו־ $\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ אורתוגונלית.

אי־שוויון הולדר: אם $x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q$ כאשר $\frac1p+\frac1q=1$ (כלומר, $\ell_p,\ell_q$ צמודים) אזי $\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q$ .
אם $\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k$ אזי $\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle$ .
ההיטל של $\mathbf u$ על $\mathbf v$ הוא $\mbox{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v$ .
אם $S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־ $\mathbf u$ ב־ $\mbox{span}(S)$ הוא $\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u)$ , כלומר $\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|$ .
אי־שוויון בסל: $\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2$ .
תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס $\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}$ נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי $\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ ובסיס אורתונורמלי $\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ באופן הבא:
$\begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}$
מרחב הפולינומים ממעלה $n$ או פחות מסומן $P_n[x]$ .
פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx$ על מרחב הפולינומים $P_n[x]$ , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס $\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ הם
$\begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}$
ניתן לחשב אותם גם ע״י $P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n$ או $P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}$ , והם מקיימים $\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}$ .
פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$ על מרחב הפולינומים $P_n[x]$ , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס $\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ הם
$\begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}$
ניתן לחשב אותם גם ע״י $T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}$ (נוסחת רודריגז) או $T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x)$ , והם מקיימים $\|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}$ .
פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע $[a,b]$ יוצרות מרחב מכפלה פנימית $E[a,b]$ עם $\langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx$ . מכפלה פנימית שימושית נוספת היא $\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle$ .

$E$ הוא סימון מקוצר ל־ $E[-\pi,\pi]$ .

מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית $\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}$ במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור $\mathbf u$ את התנאי $\lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0$ .
המערכות $\left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(q_nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(q_nx)\}_{n=1}^\infty$ ו־ $\left\{\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty$ אורתונורמליות סגורות ב־ $E[a,b]$ לפי המכפלות הפנימיות $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ו־ $\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle$ בהתאמה.
טור פורייה של $f$ ב־ $[a,b]$ הוא $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(q_nx)+b_n\sin(q_nx)\Big)$ כאשר $\forall n\in\mathbb N\cup\{0\}:\ a_n:=\langle f,\cos(q_nx)\rangle\ \and\ \forall n\in\mathbb N:\ b_n:=\langle f,\sin(q_nx)\rangle$ .

אם $f$ זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
מתקיים $\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2$ .

טור פורייה המרוכב של $f$ ב־ $[a,b]$ הוא $\sum_{n\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}$ כאשר $\forall n\in\mathbb Z:\ c_n:=\tfrac12\left\langle f,\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\rangle$ .

מתקיים $\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2$ וכן $a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})$ .

אם $f\in E[a,b]$ ו־ $S_N$ הסכום החלקי ה־ $N$ ־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של $f$ , אזי $\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0$ .
$E'[a,b]$ הוא מרחב כל הפוקנציות ב־ $E[a,b]$ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־ $[a,b]$ למעט, אולי, בקצות הקטע.
משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי $f\in E'(\mathbb R)$ אינטגרבילית בהחלט ב־ $[a,b]$ ובעלת מחזור $b-a$ . בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־ $[a,b]$ מתכנס ל־ $f$ .

אם $f\in E'[c,d]$ אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־ $\mathbb R$ .
אם $x_0$ נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־ $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)\over2$ .

תופעת גיבס: נניח שבנוסף $f'\in E[a,b]$ ו־ $x_0$ נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של $f$ כך ש־ $a<x_0<b$ . כמו כן, $S_N$ הסכום החלקי ה־ $N$ ־י של טור פורייה של $f$ . אזי קיימת סדרת נקודות $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ המקיימת $x_n\to x_0\ \and\ \forall n:\ x_n>x_0$ וכן $\lim_{N\to\infty}\frac{S_N(x_N)-f(x_N)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)-\lim_{x\to x_0^-}f(x)}\approx0.0895\dots$ , וזו השגיאה המקסימלית.

למת רימן־לבג: אם $f$ אינטגרבילית בהחלט אזי $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0$ כאשר $n\in\mathbb R$ (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
גרעין דיריכלה: $\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}$ . בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־ $(-\pi,\pi)$ שווה ל־ $\pi$ .
אם $f\in E'[a,b]$ רציפה ב־ $[a,b]$ ו־ $f(a)=f(b)$ אז טור פורייה של $f$ יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
שוויון פרסבל: אם $f\in E[a,b]$ אזי $\|f\|^2=q\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(|a_n|^2+|b_n|^2\Big)$ ו־ $\frac{\|f\|^2}2=\frac q2\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\sum_{n\to-\infty}^\infty |c_n|^2$ .

שוויון פרסבל המוכלל: אם $f,g\in E[a,b]$ אזי $\langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=\frac{a_0\overline{c_0}}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\overline{c_n}+b_n\overline{d_n}\Big)$ כאשר $g(x)\sim\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(c_n\cos(q_nx)+d_n\sin(q_nx)\Big)$ .

אם $f$ רציפה ב־ $[a,b]$ , $f(a)=f(b)$ ו־ $f'\in E[a,b]$ אזי טור פורייה של $f$ גזיר איבר־איבר ומתקיים $f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(q_n b_n\cos(q_nx)-q_n a_n\sin(q_nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm iq_nc_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}$ .
אם $f\in E[a,b]$ אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל $x\in[a,b]$ ולכל $m\in[a,b)$ מתקיים
$\begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}(\sin(q_nx)-\sin(q_nm))-\frac{b_n}{q_n}(\cos(q_nx)-\cos(q_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm iq_nx}-\mathrm e^{\mathrm iq_nm}\right)\end{align}$
והטורים מתכנסים במ״ש.

אם $F$ קדומה ל־ $f$ ב־ $[a,b]$ אזי $F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}\sin(q_nx)-\frac{b_n}{q_n}\cos(q_nx)\right)+\frac q2\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx$ .

מעבר חום: נתונה המד״ח $\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ( $k$ קבוע) עם תנאי ההתחלה $\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)$ ותנאי השפה $\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)$ . נניח שניתן להציג את הפתרון $u(x,t)$ כמכפלה $X(x)\cdot T(t)$ (זו שיטת הפרדת משתנים). אזי $\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda$ כאשר $\lambda$ מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: $\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}$ . לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־ $\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}$ עבור $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ ולכן, עבור $n$ נתון, $X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)$ פתרון עבור $a_n,b_n$ כרצוננו. לגבי המד״ר השנייה, $T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)$ הוא פתרון עבור $n$ נתון. הפתרון הכללי של $u$ הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: $u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right)$ , כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־ $a_n,b_n$ מקדמי טור פורייה של $f$ ב־ $[-L,L]$ .
משוואות גלים: נתונה המד״ח $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ( $k\ne0$ קבוע) עם תנאי ההתחלה $u(x,0)=\varphi(x)$ ו־ $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)$ ותנאי שפה $u(0,t)=u(L,t)=0$ . נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה $X(x)\cdot T(t)$ (שיטת הפרדת משתנים) ולכן $\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda$ עבור $\lambda$ מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: $\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}$ , ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל $u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)$ כאשר $a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx$ .

@@ שורה 30: / שורה 30: @@
 * אם <math>f\in E[a,b]</math> ו־<math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של <math>f</math>, אזי <math>\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0</math>.
 * <math>E'[a,b]</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E[a,b]</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־<math>[a,b]</math> למעט, אולי, בקצות הקטע.
-* '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'(\mathbb R)</math> אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור <math>b-a</math>. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־<math>[a,b]</math> מתכנס ל־<math>f</math>.
+* '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'(\mathbb R)</math> אינטגרבילית בהחלט ב־<math>[a,b]</math> ובעלת מחזור <math>b-a</math>. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־<math>[a,b]</math> מתכנס ל־<math>f</math>.
 :* אם <math>f\in E'[c,d]</math> אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־<math>\mathbb R</math>.
 :* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)\over2</math>.
+::* '''תופעת גיבס:''' נניח שבנוסף <math>f'\in E[a,b]</math> ו־<math>x_0</math> נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של <math>f</math> כך ש־<math>a<x_0<b</math>. כמו כן, <math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה של <math>f</math>. אזי קיימת סדרת נקודות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>x_n\to x_0\ \and\ \forall n:\ x_n>x_0</math> וכן <math>\lim_{N\to\infty}\frac{S_N(x_N)-f(x_N)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)-\lim_{x\to x_0^-}f(x)}\approx0.0895\dots</math>, וזו השגיאה המקסימלית.
 * '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
 * '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}</math>. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־<math>(-\pi,\pi)</math> שווה ל־<math>\pi</math>.
@@ שורה 40: / שורה 41: @@
 * אם <math>f</math> רציפה ב־<math>[a,b]</math>, <math>f(a)=f(b)</math> ו־<math>f'\in E[a,b]</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> גזיר איבר־איבר ומתקיים <math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(q_n b_n\cos(q_nx)-q_n a_n\sin(q_nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm iq_nc_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}</math>.
 * אם <math>f\in E[a,b]</math> אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל <math>x\in[a,b]</math> ולכל <math>m\in[a,b)</math> מתקיים{{left|<math>\begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}(\sin(q_nx)-\sin(q_nm))-\frac{b_n}{q_n}(\cos(q_nx)-\cos(q_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm iq_nx}-\mathrm e^{\mathrm iq_nm}\right)\end{align}</math>}}והטורים מתכנסים במ״ש.
-:* אם <math>F</math> קדומה ל־<math>f</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math> אזי <math>F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}n\sin(nx)-\frac{b_n}n\cos(nx)\right)+\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi F(x)\mathrm dx</math>.
+:* אם <math>F</math> קדומה ל־<math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> אזי <math>F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}\sin(q_nx)-\frac{b_n}{q_n}\cos(q_nx)\right)+\frac q2\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.
+* '''מעבר חום:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)</math> ותנאי השפה <math>\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)</math>. נניח שניתן להציג את הפתרון <math>u(x,t)</math> כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (זו ''שיטת הפרדת משתנים''). אזי <math>\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> כאשר <math>\lambda</math> מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}</math>. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־<math>\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}</math> עבור <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> ולכן, עבור <math>n</math> נתון, <math>X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> פתרון עבור <math>a_n,b_n</math> כרצוננו. לגבי המד״ר השנייה, <math>T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)</math> הוא פתרון עבור <math>n</math> נתון. הפתרון הכללי של <math>u</math> הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: <math>u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right)</math>, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־<math>a_n,b_n</math> מקדמי טור פורייה של <math>f</math> ב־<math>[-L,L]</math>.
+* '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"

גרסה מ־13:04, 22 בספטמבר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים