שינויים

* <math>f,g,h</math> פונקציות.

 ---- == תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית ==

* אם <math>S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W=\mbox{span}(S)</math> הוא <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u)</math>, כלומר <math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>.

* '''תהליך גרם־שמידטגרם–שמידט:''' בהנתן בסיס <math>\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}</math> נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי <math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> ובסיס אורתונורמלי <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> באופן הבא: {{left|<math>\begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}</math>}}

* '''פולינומי לז׳נדר:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט גרם–שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n</math> או <math>P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}</math>, והם מקיימים <math>\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}</math>.* '''פולינומי צבישב:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט גרם–שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}</math> (נוסחת רודריגז) או <math>T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x)</math>, והם מקיימים <math>\|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}</math>. == טורי פורייה ==

* '''למת רימן־לבגרימן–לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).

 == התמרות פורייה ==* <math>G(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־<math>\mathbb R</math> ל־<math>\mathbb C</math> שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־<math>\mathbb R</math>.* '''התמרת פורייה:''' <math>\hat f=\mathcal F[f]:\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת פורייה של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math>.* אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי <math>\hat f</math> מוגדרת ורציפה בכל נקודה <math>\omega\in\mathbb R</math>. בנוסף, <math>\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0</math>.* לכל <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ולכל <math>a,b\in\mathbb C</math> מתקיים::* <math>\mathcal F[af+bg]=a\mathcal F[f]+b\mathcal F[g]</math>:* אם <math>f</math> ממשית אזי <math>\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}</math>.::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית וזוגית אזי <math>\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)</math> והיא פונקציה ממשית.::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה.:* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>.:* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\!\left(\frac\omega a\right)</math>.:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a)</math>.:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2</math>.:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\sin(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}{2\mathrm i}</math>.:* אם <math>f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[f^{(n)}\right]\!(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F[f](\omega)</math>.:* אם <math>\int\limits_{-\infty}^\infty\left|x^k f(x)\right|\mathrm dx</math> מתכנס לכל <math>k\in\{1,\dots,n\}</math> אזי <math>\hat f</math> גזירה ברציפות <math>n</math> פעמים ומתקיים <math>\mathcal F\!\left[x^n f(x)\right]\!(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F[f](\omega)</math>.* '''התמרת פורייה ההפוכה:''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי בכל נקודה <math>x_0</math> שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים <math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>.:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f'\in E(\mathbb R)</math> אזי <math>f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>.* '''עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה:''' תהי <math>f</math> המקיימת <math>f'\in E(\mathbb R)</math>, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה <math>\hat f</math> שלה. נוכל להציב <math>x:=-\omega,\ \omega:=x</math> ב־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x)</math>, לחלק את שני האגפים ב־<math>2\pi</math> ולקבל <math>\hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi}</math>.* אם <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math>.:* {{הערה|מקרה פרטי:}} '''נוסחת פלנשרל (Plancherel):''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math>.* '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g:\mathbb R\to\mathbb R</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt</math>.* <math>f*g=g*f</math>* <math>(f*g)*h=f*(g*h)</math>* <math>f*(g+h)=f*g+f*h</math>* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בהחלט אז <math>f*g</math> מוגדרת עבורן בכל <math>\mathbb R</math> וגם היא אינטגרבילית בהחלט.* '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F[f*g]=2\pi\mathcal F[f]\mathcal F[g]</math>.:* {{הערה|שימוש חשוב:}} נניח שידועות <math>f,g,\hat f,\hat g</math> ונרצה למצוא <math>h</math> כך ש־<math>\hat h=\hat f\cdot\hat g</math>. אזי <math>h=\frac1{2\pi}f*g</math>. === התמרות פורייה שימושיות ===* <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-|x|}\right]\!(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}</math>* <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-x^2}\right]\!(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi}</math> (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: <math>\hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)</math>).* עבור <math>a\ge0</math>: <math>\mathcal F[1_{[-a,a]}](\omega)=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega}</math> (כאשר <math>1_A</math> היא הפונקציה המציינת של קבוצה <math>A</math>, ומוגדרת ע״י <math>1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}</math>). == התמרות לפלס ==* '''חסימות מעריכית:''' נאמר ש־<math>f</math> חסומה מעריכית אם קיימים <math>M>0</math> (''חסם מעריכי'') ו־<math>\alpha</math> (''סדר מעריכי'') שעבורם <math>\forall t:\ |f(t)|\le M\mathrm e^{\alpha t}</math>.* <math>\Lambda(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של פונקציות <math>f:\mathbb R\to\mathbb C</math> חסומות מעריכית כך ש־<math>f\in E[0,\infty)</math> והן אינטגרביליות בהחלט ב־<math>[0,R]</math> לכל <math>0<R<\infty</math>.* '''התמרת לפלס:''' תהי <math>f\in E[0,\infty)</math> המקבלת ערכים ב־<math>\mathbb C</math>. אזי <math>\mathcal L[f]:\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת לפלס של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\mathcal L[f](s)=\int\limits_0^\infty f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt</math>.* אם <math>f\in E[0,\infty)</math> וחסומה מעריכית אזי <math>\lim_{s\to\infty}\mathcal L[f](s)=0</math>.* אם <math>f\in\Lambda(\mathbb R)</math> עם סדר מעריכי <math>\alpha</math> אז קיימת לה התמרת לפלס ב־<math>(\alpha,\infty)</math>.* <math>\forall a,b\in\mathbb C:\ \mathcal L[af+bg]=a\mathcal L[f]+b\mathcal L[g]</math>* <math>\mathcal L\!\left[t^n f(t)\right]\!(s)=(-1)^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm ds^n}\mathcal L[f](s)</math>* '''משפט התמורה של הנגזרת:''' תהי <math>f</math> עם חסם מעריכי <math>\alpha</math> וכך ש־<math>f^{(n)}\in\Lambda(\mathbb R)</math>. אזי התמרת לפלס של <math>f^{(n)}</math> מוגדרת ב־<math>(\alpha,\infty)</math> ומתקיים <math>\mathcal L\!\left[f^{(n)}\right]\!(s)=s^n\mathcal L[f](s)-\sum_{k=0}^{n-1} s^{n-1-k}f^{(k)}(0)</math>.* '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g\in\Lambda(\mathbb R)</math>. אזי <math>\forall t\in[0,\infty):\ (f*g)(t)=\int\limits_0^t f(t-x)g(x)\mathrm dx</math>.* '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in\Lambda(\mathbb R):\ \mathcal L[f*g]=\mathcal L[f]\mathcal L[g]</math>. אם בנוסף <math>f,g</math> עם סדר מעריכי <math>\alpha</math> אז <math>\mathcal L[f*g](s)</math> מוגדר לכל <math>s>\alpha</math>.* תהא <math>f\in\Lambda(\mathbb R)</math> ונתונה <math>F(t)=\int\limits_0^t f(x)\mathrm dx</math>. ממשפט הקונבולוציה עם <math>g(t)\equiv1</math> נקבל <math>\mathcal L[F](s)=\frac{\mathcal L[f](s)}s</math>.* '''פונקציית הביסייד (Heaviside)''' היא <math>H_c(t)=\begin{cases}0,&0\le t<c\\1,&t\ge c\end{cases}</math>.* <math>\mathcal L[H_c(t)f(t-c)](s)=\mathrm e^{-cs}\mathcal L[f](s)</math> === התמרות לפלס שימושיות ===בהתמרות הבאות, <math>a</math> הוא מספר ממשי כרצוננו.* <math>\mathcal L\!\left[\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{s-a},\quad s>a</math>* <math>\mathcal L\!\left[t\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{(s-a)^2},\quad s>a</math>* <math>\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac a{s^2+a^2},\quad s>0</math>* <math>\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac s{s^2+a^2},\quad s>0</math>* <math>\mathcal L[H_a](s)=\frac{\mathrm e^{-as}}s,\quad s>0</math> == דגימה והתמרת פורייה בדידה ==* <math>f\in G(\mathbb R)</math> נקראת "חסומה בתדר" אם <math>\exists L>0:\ \forall |\omega|>L:\ \hat f(\omega)=0</math>. ה־<math>L</math> המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של <math>f</math>.* נניח כי <math>f</math> חסומה בתדר ובעלת רוחב פס <math>L</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ f(x)=\sum_{n\to-\infty}^\infty f\!\left(\frac{\pi n}L\right)\frac{\sin(Lx-\pi n)}{Lx-\pi n}</math>.* '''התמרת פורייה בדידה (DFT):''' בהינתן סדרה <math>x=\{x_0,x_1,\dots,x_{N-1}\}</math> של <math>N</math> נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י <math>\forall k:\ \mathcal F_N(x)_k=X_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m w^{mk}</math> כאשר <math>w:=\mathrm e^{-2\pi\mathrm i/N}</math>. זו התמרה של <math>N</math> נקודות ל־<math>N</math> נקודות אחרות.* '''ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT)''' נותנת את ערכי הסדרה המקורית <math>x</math> לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה <math>X</math> שלה: <math>\forall k:\ \mathcal F_N^{-1}(X)_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} X_m w^{-mk}</math>.* <math>\mathcal F_N(ax+by)=a\mathcal F_N(x)+b\mathcal F_N(y)</math>* <math>X_k=X_{k+N}</math>* '''קונבולוציה:''' בהנתן שתי סדרות <math>x,y</math> בעלות מחזור <math>N</math> הקונבולוציה מוגדרת ע״י <math>(x*y)_k:=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m y_{k-m}</math>.* '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\mathcal F_N(x*y)=\mathcal F_N(x)\cdot\mathcal F_N(y)=X\cdot Y</math> (כאשר הכפל מתבצע איבר־איבר).* '''מטריצת DFT:''' התמרת פורייה הבדידה הינה לינארית, לכן קל להגדיר אותה באמצעות מטריצה <math>W</math> שתקיים <math>X=Wx</math>. המטריצה מוגדרת כ־<math>W=\frac1\sqrt N\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&w&w^2&\dots&w^{N-1}\\1&w^2&w^{2\cdot2}&\cdots&w^{2(N-1)}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&w^{N-1}&w^{2(N-1)}&\cdots&w^{(N-1)^2}\end{pmatrix}=\left(\frac{w^{(i-1)\cdot(j-1)}}\sqrt N\right)_{1\le i,j\le N}</math>, וזו מטריצה יוניטרית (כלומר <math>W^{-1}=\overline W^\top</math>) וסימטרית.* '''FFT – Fast Fourier Transform:''' בעוד שחישוב על פי ההגדרה של התמרת פורייה בדידה הוא בעל סיבוכיות זמן ריצה <math>O(N^2)</math>, תהליכי FFT עושים זאת ב־<math>O(N\log(N))</math>. יש מספר שיטות כאלו, אנו למדנו רק את [http://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm תהליך Cooley–Tukey]. הפירוט אינו מופיע כאן, אלא בקישור הנ״ל לוויקפדיה. == מד״ח ==* '''מעבר חום:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)</math> ותנאי .:* ''שיטת הפרדת משתנים'': אם נתונים בנוסף תנאי השפה <math>\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)</math>. , נניח שניתן להציג את הפתרון <math>u(x,t)</math> כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (זו ''שיטת הפרדת משתנים''). אזי <math>\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> כאשר <math>\lambda</math> מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}</math>. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־<math>\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}</math> עבור <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> ולכן, עבור <math>n</math> נתון, <math>X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> פתרון עבור לכל <math>a_n,b_n</math> כרצוננו. לגבי המד״ר השנייה, <math>T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)</math> הוא פתרון עבור <math>n</math> נתון. הפתרון הכללי של <math>u</math> הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: <math>u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right)</math>, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־<math>a_n,b_n</math> מקדמי טור פורייה של <math>f</math> ב־<math>[-L,L]</math>.:* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)</math>. פתרונה של המד״ר הזו הוא <math>\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}</math>, והצבה של <math>t=0</math> תתן <math>A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)</math>. עתה נחפש פונקציה <math>g</math> כך שהתמרת פורייה שלה לפי <math>x</math> תהא <math>\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}</math>. לפי ההתמרה של <math>\mathrm e^{-x^2}</math> וכמה מתכונות ההתמרה נקבל <math>g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)</math> ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, <math>u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds</math>.