הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←התמרות לפלס) |
מ (←תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
* אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>. | * אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>. | ||
* ההיטל של <math>\mathbf u</math> על <math>\mathbf v</math> הוא <math>\mbox{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v</math>. | * ההיטל של <math>\mathbf u</math> על <math>\mathbf v</math> הוא <math>\mbox{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v</math>. | ||
− | * אם <math>S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>\mbox{span}(S)</math> הוא <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u)</math>, כלומר <math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>. | + | * אם <math>S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W=\mbox{span}(S)</math> הוא <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u)</math>, כלומר <math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>. |
* '''אי־שוויון בסל:''' <math>\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2</math>. | * '''אי־שוויון בסל:''' <math>\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2</math>. | ||
* '''תהליך גרם–שמידט:''' בהנתן בסיס <math>\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}</math> נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי <math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> ובסיס אורתונורמלי <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> באופן הבא: {{left|<math>\begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}</math>}} | * '''תהליך גרם–שמידט:''' בהנתן בסיס <math>\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}</math> נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי <math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> ובסיס אורתונורמלי <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> באופן הבא: {{left|<math>\begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}</math>}} |
גרסה מ־08:50, 23 בספטמבר 2012
תוכן עניינים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- פונקציות.
- בהנתן נסמן ו־.
- הם מקדמי פורייה של (בהתאמה) בטור פורייה של , ו־ מקדמי פורייה של בטור פורייה המרוכב.
- היא העצרת הכפולה של , והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם אי־זוגי) מ־1 עד , או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: ו־.
- אורתונורמלית ו־ אורתוגונלית.
תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית
- אי־שוויון הולדר: אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
- אם אזי .
- ההיטל של על הוא .
- אם בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ הוא , כלומר .
- אי־שוויון בסל: .
- תהליך גרם–שמידט: בהנתן בסיס נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי ובסיס אורתונורמלי באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה או פחות מסומן .
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י או , והם מקיימים .
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י (נוסחת רודריגז) או , והם מקיימים .
טורי פורייה
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע יוצרות מרחב מכפלה פנימית עם . מכפלה פנימית שימושית נוספת היא .
- הוא סימון מקוצר ל־.
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור את התנאי .
- המערכות ו־ אורתונורמליות סגורות ב־ לפי המכפלות הפנימיות ו־ בהתאמה.
- טור פורייה של ב־ הוא כאשר .
- אם זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים .
- טור פורייה המרוכב של ב־ הוא כאשר .
- מתקיים וכן .
- אם ו־ הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של , אזי .
- הוא מרחב כל הפוקנציות ב־ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־ למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי אינטגרבילית בהחלט ב־ ובעלת מחזור . בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־ מתכנס ל־.
- אם אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־.
- אם נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף ו־ נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של כך ש־. כמו כן, הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה של . אזי קיימת סדרת נקודות המקיימת וכן , וזו השגיאה המקסימלית.
- למת רימן–לבג: אם אינטגרבילית בהחלט אזי כאשר (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה: . בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־ שווה ל־.
- אם רציפה ב־ ו־ אז טור פורייה של יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- שוויון פרסבל: אם אזי ו־.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם אזי כאשר .
- אם רציפה ב־, ו־ אזי טור פורייה של גזיר איבר־איבר ומתקיים .
- אם אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל ולכל מתקייםוהטורים מתכנסים במ״ש.
- אם קדומה ל־ ב־ אזי .
התמרות פורייה
- הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־ ל־ שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־.
- התמרת פורייה: נקראת "התמרת פורייה של " ומוגדרת ע״י .
- אם אזי מוגדרת ורציפה בכל נקודה . בנוסף, .
- לכל ולכל מתקיים:
- אם ממשית אזי .
- מקרה פרטי: אם ממשית וזוגית אזי והיא פונקציה ממשית.
- מקרה פרטי: אם ממשית ואי־זוגית אזי והיא פונקציה מדומה.
- אם מדומה אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם ו־ אזי .
- אם מתכנס אזי גזירה ברציפות ומתקיים .
- התמרת פורייה ההפוכה: אם אזי בכל נקודה שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים .
- מקרה פרטי: אם אזי .
- עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי המקיימת , ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה שלה. נוכל להציב ב־, לחלק את שני האגפים ב־ ולקבל .
- אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- אם אינטגרביליות בהחלט אז מוגדרת עבורן בכל וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
- משפט הקונבולוציה: .
- שימוש חשוב: נניח שידועות ונרצה למצוא כך ש־. אזי .
התמרות פורייה שימושיות
- (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: ).
- עבור : (כאשר היא הפונקציה המציינת של קבוצה , ומוגדרת ע״י ).
התמרות לפלס
- חסימות מעריכית: נאמר ש־ חסומה מעריכית אם קיימים (חסם מעריכי) ו־ (סדר מעריכי) שעבורם .
- הוא המרחב הלינארי של פונקציות חסומות מעריכית כך ש־ והן אינטגרביליות בהחלט ב־ לכל .
- התמרת לפלס: תהי המקבלת ערכים ב־. אזי נקראת "התמרת לפלס של " ומוגדרת ע״י .
- אם וחסומה מעריכית אזי .
- אם עם סדר מעריכי אז קיימת לה התמרת לפלס ב־.
- משפט התמורה של הנגזרת: תהי עם חסם מעריכי וכך ש־. אזי התמרת לפלס של מוגדרת ב־ ומתקיים .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- משפט הקונבולוציה: . אם בנוסף עם סדר מעריכי אז מוגדר לכל .
- תהא ונתונה . ממשפט הקונבולוציה עם נקבל .
- פונקציית הביסייד (Heaviside) היא .
התמרות לפלס שימושיות
בהתמרות הבאות, הוא מספר ממשי כרצוננו.
דגימה והתמרת פורייה בדידה
- נקראת "חסומה בתדר" אם . ה־ המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של .
- נניח כי חסומה בתדר ובעלת רוחב פס . אזי .
- התמרת פורייה בדידה (DFT): בהינתן סדרה של נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י כאשר . זו התמרה של נקודות ל־ נקודות אחרות.
- ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT) נותנת את ערכי הסדרה המקורית לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה שלה: .
- קונבולוציה: בהנתן שתי סדרות בעלות מחזור הקונבולוציה מוגדרת ע״י .
- משפט הקונבולוציה: (כאשר הכפל מתבצע איבר־איבר).
- מטריצת DFT: התמרת פורייה הבדידה הינה לינארית, לכן קל להגדיר אותה באמצעות מטריצה שתקיים . המטריצה מוגדרת כ־, וזו מטריצה יוניטרית (כלומר ) וסימטרית.
- FFT – Fast Fourier Transform: בעוד שחישוב על פי ההגדרה של התמרת פורייה בדידה הוא בעל סיבוכיות זמן ריצה , תהליכי FFT עושים זאת ב־. יש מספר שיטות כאלו, אנו למדנו רק את תהליך Cooley–Tukey. הפירוט אינו מופיע כאן, אלא בקישור הנ״ל לוויקפדיה.
מד״ח
- מעבר חום: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה ותנאי השפה .
- שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון כמכפלה . אזי כאשר מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: . לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־ עבור ולכן, עבור נתון, פתרון לכל . לגבי המד״ר השנייה, הוא פתרון עבור נתון. הפתרון הכללי של הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: , כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־ מקדמי טור פורייה של ב־.
- שימוש בהתמרת פורייה: נסמן (כלומר, זו התמרת פורייה של לפי ). לפי המד״ח . פתרונה של המד״ר הזו הוא , והצבה של תתן . עתה נחפש פונקציה כך שהתמרת פורייה שלה לפי תהא . לפי ההתמרה של וכמה מתכונות ההתמרה נקבל ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, .
- משוואות גלים: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה ו־ ותנאי שפה . נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה (שיטת הפרדת משתנים) ולכן עבור מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: , ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל כאשר .
- נתונה מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.