העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11

שאלה: תהי $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$. הוכיחו כי $A\sim A^{t}$.

סימונים:

$f_{A}(x)$ - הפולינום האופייני של $A$

$J_{m}(\lambda)$ - בלוק ג'ורדן מגודל m המתאים לע"ע $\lambda$

$J_{A}$ - צורת הג'ורדן של המטריצה $A$ (אם קיימת).

טענת עזר: יהי $J_{m}(\lambda )$ בלוק ג'ורדן. אזי $J_{m}(\lambda )\sim J_{m}(\lambda )^{t}$

נראה באמצעות חישוב ישיר כי עבור $Q=\begin{bmatrix} 0& .& .& .& 0&1 \\ .& .& .& .& 1&0 \\ .& .& .& . & .&. \\ .& .& . & .& .&. \\ 0& 1& .& .& .&. \\ 1&0 &. &. &. &0 \end{bmatrix}$ (מטריצה בה האחדות נמצאות על האלכסון המשני) מתקיים: $Q^{-1}J_{m}(\lambda )Q=J_{m}(\lambda )^{t}$

ראשית נראה כי $Q^{2}=I$ באמצעות כפל עמודה-עמודה ולכן $Q=Q^{-1}$

$Q^{2}=Q\cdot Q=\begin{bmatrix} 0& .& .& .& 0&1 \\ .& .& .& .& 1&0 \\ .& .& .& .& .&. \\ .& .& .& .& .&. \\ 0& 1& .& .& .&. \\ 1&0 &. &. &. &0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0& .& .& .& 0&1 \\ .& .& .& .& 1&0 \\ .& .& .& .& .&. \\ .& .& .& .& .&. \\ 0& 1& .& .& .&. \\ 1&0 &. &. &. &0 \end{bmatrix}=I$

כעת נראה באמצעות חישוב כי $Q^{-1}J_{m}(\lambda )Q=J_{m}(\lambda )^{t}$:

$Q\cdot J_{m}(\lambda ) \cdot Q=\begin{bmatrix} 0& .& .& .& 0&1 \\ .& .& .& .& 1&0 \\ .& .& .& .& .&. \\ .& .& .& .& .&. \\ 0& 1& .& .& .&. \\ 1&0 &. &. &. &0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \lambda & 1& 0& .& .&0 \\ 0& \lambda & .& .& .&. \\ .& .& .& .& .&. \\ .& .& .& .& .& 0\\ .& .& .& .& .&1 \\ 0& .& .& .& 0& \lambda \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0& .& .& .& 0&1 \\ .& .& .& .& 1&0 \\ .& .& .& .& .&. \\ .& .& .& .& .&. \\ 0& 1& .& .& .&. \\ 1&0 &. &. &. &0 \end{bmatrix}=$

לפי כפל שורה-שורה, נוכל לראות שהשורה האחרונה הופכת לראשונה, הלפני אחרונה לשנייה וכו':

ולפי כפל עמודה עמודה, נוכל לראות שתהליך דומה קורה לטורים (האחרון לראשן וכן הלאה):

$\begin{bmatrix} 0& .& .& .& 0& \lambda \\ .& .& .& .&\lambda &1 \\ .& .& .& .& .&0 \\ .& .& .& .&. &. \\ 0& .& .& &. &. \\ \lambda &1 &0 &. &. &0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0& .& .& .& 0&1 \\ .& .& .& .& 1&0 \\ .& .& .& .& .&. \\ .& .& .& .& .&. \\ 0& 1& .& .& .&. \\ 1&0 &. &. &. &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda &0 & .& .& .&0 \\ 1& \lambda & .& .& .&. \\ 0& .& .& .& .&. \\ .& .& . & .& .&. \\ .& .& .& .& .&0 \\ 0& .& .& 0& 1& \lambda \end{bmatrix}=J_{m}(\lambda)^{t}$

והוכחנו את טענת העזר.

הוכחת הטענה:

$A\in \mathbb{C}^{n \times n}$ ולכן $f_{A}(x)$ מתפרק לגורמים ליניאריים (מרוכבים סגורים אלגברית) ומכאן שיש לה צורת ג'ורדן.

ומכאן שקיימת $P\in \mathbb{C}^{n \times n}$ הפיכה כך שמתקיים: $P^{-1}AP=J_{A}$

$(J_{A})^{t}=(P^{-1}AP)^{t}=P^{t}(P^{-1}A)^{t}=P^{t}A^{t}(P^{-1})^{t}=P^{t}A^{t}(P^{t})^{-1}$

ובסה"כ המטריצה המשוחלפת דומה לצורת ג'ורדן המשוחלפת של $A$, ולכן מספיק להוכיח: $(J_{A})^{t}\sim J_{A}$

וזאת קל להראות לפי טענת העזר:

הוכחנו בליניארית 1 כי מתקיים: $(A\oplus B)(C\oplus D)=AB\oplus CD$ וניתן להכליל את הטענה באינדוקציה לכל גודל של סכום ישר.

צורת ג'ורדן הינה סכום ישר של בלוקי ג'ורדן שכל אחד מהם דומה לצורה משוחלפת שלו, נסמן את מטריצת הדימיון בQ. ניצור מטריצה P הבנוייה כסכום ישר של כל המטריצות Q לפי סדר הבלוקים של צורת הג'ורדן וניצור מטריצה K כסכום ישר של כל המטריצות ההופכות לQ. נראה כי KP=I.

$P\cdot K=(\bigoplus ^{k}_{i=1}Q_{i})\cdot (\bigoplus ^{k}_{i=1}(Q_{i})^{-1})=(\bigoplus ^{k}_{i=1}Q_{i}\cdot (Q_{i})^{-1}))=(\bigoplus ^{k}_{i=1}I)=I$

וכעת נראה את הדימיון עצמו:

$P\cdot J_{A}\cdot P^{-1}=(\bigoplus ^{k}_{i=1}Q_{i})\cdot(\bigoplus ^{k}_{i=1}J_{i})\cdot (\bigoplus ^{k}_{i=1}(Q_{i})^{-1})=(\bigoplus ^{k}_{i=1}Q_{i}\cdot J_{i} \cdot (Q_{i})^{-1}))=(\bigoplus ^{k}_{i=1}J_{i}^{t})=J_{A}^{t}$

כאשר $J_{i}$ הוא הבלוק הi של צורת הג'ורדן של A.

הראנו כי $(J_{A})^{t}\sim J_{A}$ ולכן $A\sim A^{t}$.

מ.ש.ל